矩阵等价和向量组等价的区别和联系-秩为1的矩阵的常用性质

一、矩阵等价和向量组等价的区别和联系

A与B两个矩阵等价的概念是A能经过初等变换（无论行或列，可以既有行又有列）变成B。特别地，如果A只经过初等行变换就能变成B，不仅能说明矩阵A和B等价，而且还说明A和B的行向量组等价（即简称行等价）；如果A只经过初等列变换变成B，不仅说明矩阵A和B等价，而且还说明A和B的列向量组等价（即简称列等价）。

A和B的列向量组等价的概念是A和B的列向量组能相互线性表示，其充要条件是AX=B（B的列向量组能由A的列向量组线性表示）和BY=A（A的列向量组能由B的列向量组线性表示）都有解，充要条件还可转化为R(A)=R(B)=R(A,B)。显然有以下结论，如果A与B的列向量组或行向量组等价（即A与B列等价或行等价），则必有矩阵A和B等价；如果矩阵A与B等价，则A和B的列向量组和行向量组都未必等价，

如

A=

1 0

0 0

B=

0 0

0 1，

虽然矩阵A和B都是2阶矩阵且秩相等（矩阵等价），但A和B的列向量组和行向量组都不等价。

二、秩为1的n阶矩阵的常用性质

一般结论: n阶矩阵A的秩为1的充要条件是A能写成一个非零列向量α=(a1,...,an)^T乘一个非零行向量β^T=(b1,...,bn)，即A=αβ^T，α≠O，β≠O。

而对于秩为1的矩阵A有tr(A)=tr(αβ^T)=a1b1+a2b2+...+anbn=[α,β]=[β,α]=α^Tβ=β^Tα

则Aⁿ=αβ^Tαβ^T...αβ^T=α(β^Tα)ⁿ⁻¹β^T=(β^Tα)ⁿ⁻¹αβ^T=[tr(A)]ⁿ⁻¹A。

总之，若R(A)=1，则Aⁿ=[tr(A)]ⁿ⁻¹A。