Espha的数学日常（1）-探究运动线段扫过的面积

2022-11-29 02:24 作者:Espha 0人读过 | 我要投稿

结论是临时推的，存在许多不严谨的地方。部分个人认为不严谨的地方已经标红，欢迎大佬们在评论区补充。

众所周知，利用定积分工具可以计算函数与坐标轴围成的(有向)面积。题目中的"面积“指的大约是积分。

如图所示，A(a,0),B(a,f(a)),C(b,0),D(b,f(b))，利用定积分可以计算该曲边梯形的面积。

后来有一天Espha看到了这样一个题目

那好吧...既然被问了也不好意思拒绝。这题要求我们计算线段扫过的面积。据常理推断，这应该是可以用积分解决的。在解决之前，应该先化成更简单的描述。于是Espha掏出复数大法，马上把这玩意化成了以下的等价问题: $C(x%2Cf(x))%2CD(g(x)%2Ch(x))%2C%E6%B1%82x%E4%BB%8Ea%E5%8F%98%E5%8C%96%E5%88%B0b%E6%97%B6%EF%BC%8C%E7%BA%BF%E6%AE%B5CD%E6%89%AB%E8%BF%87%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AFS$

Espha想了好久，发现太难了，因为要考虑重叠面积之类的，特别复杂。于是出题者降低难度。

那咱就用积分算一下吧..仿照定积分的思想试试。

我们先随便画一个图。如图可见，这样的线段并不一定是垂直的。

因此，我们不能使用定积分那样直接分割成矩形的方法计算。如果我们给它加一个微小变化量，动出来的将是一个普通四边形。没有什么特征的话，我们考虑通过行列式的方法计算它。

如图。记[ABC]为三角形ABC的有向面积，记逆时针为正。那么

$%5BABCD%5D%3D%5BABC%5D%2B%5BACD%5D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26x_A%20%20%20%20%26y_A%20%20%5C%5C%0A1%20%26x_B%20%20%20%20%26y_B%20%20%5C%5C%0A1%20%26x_C%20%20%20%20%26y_C%20%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%20%2B%0A%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26x_A%20%20%20%20%26y_A%20%20%5C%5C%0A1%20%26x_C%20%20%20%20%26y_C%20%20%5C%5C%0A1%20%26x_D%20%20%20%20%26y_D%20%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%20)%0A%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26x_A%20%20%20%20%26y_A%20%20%260%5C%5C%0A1%20%26x_B%20%20%20%20%26y_B%20%20%261%5C%5C%0A1%20%26x_C%20%20%20%20%26y_C%20%20%260%5C%5C%0A1%20%26x_D%20%20%20%20%26y_D%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%20$

P:(f(x),g(x)):::Q:(F(x),G(x))

则起始位置的线段和终止位置的线段对应的点分别是

A(f(a),g(a))::B(F(a),G(a))::C(f(b),g(b))::D(F(b),G(b))

同定积分一样，上限b下限a。所以我们对其与定积分做相同的处理。

把[a,b]分成n份，每一份是 $%5CDelta%20t%3D%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D$ 。第k份的时候，面积的微小变化

$%5CDelta%20S_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26f(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26g(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%260%5C%5C%0A1%20%26f(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26g(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A1%20%26F(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26G(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)%20%20%260%5C%5C%0A1%20%26F(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C$

对行列式进行初等变换，第二行减去第一行，第三行减去第四行，得到

$%5CDelta%20S_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26f(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26g(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%260%5C%5C%0A0%20%26f(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)-f(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26g(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)-g(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A0%20%26F(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)-F(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26G(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)-G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-1%5C%5C%0A1%20%26F(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C$

$n%E2%86%92%2B%5Cinfty%E6%97%B6%E6%9C%89%5CDelta%20t%E2%86%920$ ,因此

$%5Cfrac%7Bf(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)-f(a%2Bk%5CDelta%20t)%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3Df'(a%2Bk%5CDelta%20t)$

那么，原式等价于

$%5CDelta%20S_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26f(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26g(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%260%5C%5C%0A0%20%26%5CDelta%20tf'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26%5CDelta%20t%20g'((a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A0%20%26%5CDelta%20tF'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26%5CDelta%20tG'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-1%5C%5C%0A1%20%26F(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C$

回头看定积分的特殊情况。从上面的式子变成定积分，我们只需要代入 $f(x)%3DF(x)%3Dx%3Bg(x)%3D0%3BG(x)$

式子变成

$%5CDelta%20S_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26a%2Bk%5CDelta%20t%20%20%20%20%260%20%20%260%5C%5C%0A0%20%26%5CDelta%20t%20%20%20%20%260%20%20%261%5C%5C%0A0%20%26%5CDelta%20t%20%20%20%20%26%5CDelta%20tG'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-1%5C%5C%0A1%20%26a%2Bk%5CDelta%20t%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%0A%3D%0A%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26a%2Bk%5CDelta%20t%20%20%20%20%260%20%20%260%5C%5C%0A0%20%26%5CDelta%20t%20%20%20%20%260%20%20%261%5C%5C%0A0%20%260%20%20%20%20%26%5CDelta%20tG'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-2%5C%5C%0A0%20%260%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5CDelta%20t%20%20%20%20%260%20%20%261%5C%5C%0A0%20%20%20%20%26%5CDelta%20tG'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-2%5C%5C%0A0%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%0A%3D%5CDelta%20tG(a%2Bk%CE%94t)%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5CDelta%20t)%5E2G'(a%2Bk%5CDelta%20t)$

定积分将图形分割成矩形时，舍掉 $(%5CDelta%20t)%5E2$ 项。因此得到

$%CE%94S_k%3D%5CDelta%20tG(a%2Bk%CE%94t)$

从定积分的例子中吸取经验，我们舍掉式子中含 $(%5CDelta%20t)%5E2$ 的部分

我们对 $%5CDelta%20S_k$ 进行代数余子式展开。

$%5CDelta%20S_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A(%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5CDelta%20tf'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26%5CDelta%20t%20g'((a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5CDelta%20tF'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26%5CDelta%20tG'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-1%5C%5C%0AF(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%0A-%0A%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Af(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26g(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%260%5C%5C%0A%5CDelta%20tf'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26%5CDelta%20t%20g'((a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5CDelta%20tF'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26%5CDelta%20tG'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-1%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%0A)$

直接计算并舍掉含 $(%5CDelta%20t)%5E2$ 的部分，得到

$%5CDelta%20S_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A(%5CDelta%20t(f'G-g'F%2BF'G-FG')-%5CDelta%20t(-fg'-fG'%2BgF'%2Bgf'))$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5CDelta%20t(f'G%2BfG'-g'F-gF'%2BF'G-FG'%2Bfg'-f'g)$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5CDelta%20t((fG)'-(Fg)'%2BF'G-FG'%2Bfg'-f'g)$

令 $n%E2%86%92%2B%5Cinfty$ ,则有

$dS%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A((fG)'-(Fg)'%2BF'G-FG'%2Bfg'-f'g)dt$

对两边积分，得

$S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A(%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(fG)'dt%0A-%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(Fg)'dt%0A%2B%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(F'G-FG')dt%0A-%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(f'g-fg')dt%0A)$

于是我们得到了最终结果

$S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5B%20(fG)%20%5Cmid%5Eb_a%0A-%20(Fg)%20%5Cmid%20_a%5Eb%0A%2B%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(F'G-FG')dt%0A-%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(f'g-fg')dt%0A%5D$

取特殊值验证

我们尝试代入一些特殊数据

同心圆: $P%3A(rcost%2Crsint)%3BQ%3A(Rcost%2CRsint)$

即 $f(t)%3Drcost%3Bg(t)%3Drsint%3A%3AF(t)%3DRcost%3BG(t)%3DRsint$

代入上式 $S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5B%20(rRcostsint)%20%5Cmid%5Eb_a%0A-%20(rRcostsint)%20%5Cmid%20_a%5Eb%0A%2B%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20(-R%5E2sin%5E2t-R%5E2cos%5E2t)dt%0A-%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20(-r%5E2sin%5E2t-r%5E2cos%5E2t)dt%0A%5D$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A(%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20-R%5E2dt%0A-%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20-r%5E2dt%0A)%3D%5Cfrac%7B-1%7D%7B2%7D(2%5Cpi%20R%5E2-2%5Cpi%20r%5E2)%3D-%5Cpi(R%5E2-r%5E2)$

负号和我们想象中的不一样。实际上因为这里t按逆角增加，图形的方向从a到b的P1-P2-Q2-Q1实际上是顺时针的，所以是负数。

代入 $P%3A(t%2C0)%3BQ%3A(t%2Cf(t))$ ，显然它表示一个定积分的几何意义。

$S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5B%20f(x)%20%5Cmid%5Eb_a%0A%2B%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(f(x)-xf'(x))dx%0A%5D%0A%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5B%20f(x)%20%5Cmid%5Eb_a%0A%2B%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(f(x)dx%0A-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dxdf(x)%0A%5D$