小姚老师 | 2-1-2 函数的单调性与奇偶性

1️⃣单调性与奇偶性的判断

1. 单调性的运算结论：若函数f(x)和g(x)在区间D上具有单调性，则

①在区间D上，若a>0，则af(x)与f(x)单调性相同；若a<0，则 af(x)与f(x)单调性相反

②若f(x)和g(x)单调性相同，则f(x)+g(x)的单调性与它们相同

③f(x)>0，g(x)>0，且f(x)和g(x)单调性相同，则f(x)g(x)的单调性与它们相同

2. 复合函数的单调性判断准则：同增异减

3. 奇函数的性质：①f(-x) =-f(x)；②图象关于原点对称；若x=0处有定义，则f(0)=0

4. 偶函数的性质：f(-x) =f(x)；②图象关于y轴对称

5. 常见的几个奇函数

6. 奇偶性加减法结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶

• f(x)，g(x)≠0

7. 奇偶性乘除法结论：奇×奇=偶；奇×偶=奇；偶x偶=偶

8. 无论y= f(x)是什么函数，函数y=f(|x|)和y=f(-|x|)都是偶函数

9. 若y=f(x)是奇函数或偶函数，则函数y=|f(x)| =偶函数

10. 多项式函数f(x)=a₀ +a₁x +a₂x² +… +aₙxⁿ的奇偶性：

• ①当且仅当a₀ =a₂ = a₄ =…=0时，f(x)为奇函数；
• ②当且仅当a₁ =a₃ = a₅=…=0时，f(x)为偶函数

单调性奇偶性判断小题

• 单调性
• ①图像
• ②单调性运算结论
• ③复合函数口诀
• ④导数
• 奇偶性
• ①定义域与图像
• ②特殊值检验
• ③恒等式

【例1】（2021·新课标Ⅱ卷）下列函数中是增函数的是

A. f(x) = -x【减函数】

B. f(x) = (2/3)ᕽ【减函数】

C. f(x) = x²【先减后增】

D. f(x) = ³√x

用定义域和f(0)检验

• A：f(0) =ln2
• B：刚才背过的模型，或用f(-x) =-f(x)
• C：刚才背过的模型，或用f(-x) =-f(x)
• D：画图

奇偶性：

• 特殊值：f(1)和f(-1)或者用恒等式

单调性：

• B有范围，算定义域的范围，正的可以脱绝对值
• 复合函数同增异减。分母递减，整体就递增
• D是负的，拖括号带负号，分离常数

2️⃣根据奇偶性求参数的值

①定义域与图像

②特殊值检验

③恒等式

法一：特殊值

• f(1)=f(-1)
• 对数相减=真数相除

法二：恒等式

• f(-x) =f(x)

法一：特殊值

• f(1) =-f(-1)

法二：恒等式

• f(-x) =-f(x)
• 合并同类项，提取公因式

法一：特殊值

• 奇函数，f(1)没有意义，那么f(-1)没有意义
• 直接解出a=-1/2
• f(0) =0 b=-ln|1/2| =ln2

法二：恒等式

• f(-x) =-f(x)
• 简单移项，需要定值=0

3️⃣奇函数+常数结论

对称中心（0，a）

f(x) +f(-x) =2a

fmax +fmin =2a

中点坐标公式

中点坐标公式

换底公式，真数指数往前提

分离常数 +奇函数/偶函数=奇函数

4️⃣函数值不等式的解法

条件：

• ①已知函数f(x)的解析式；
• ②已知f(x)满足的一些性质

目标：

• f(☆) >f(△) 或f(☆)+f(△)

方法：

• ①画草图
• ②利用单调性，奇偶性

增函数

2 ≥x >2x-1 ≥-2

画图像，增函数

分段函数不连增，分段讨论

2a-1 <a：a<1

反面：0≤ 2a-1 ≤1 且0≤a≤1

• 取反后是：a<1/2 或a>1

取公共部分，a<1/2

核武器求导

求导后用基本不等式，递增

根据奇偶性消灭负号

画草图，单侧讨论：离对称轴远越大

用绝对值表示，开平方削绝对值

先从定义域下手，正的就能削绝对值

得出是偶函数，画图，正半轴是增函数，然后翻折

2 ≥|log₂x| >1