量子场论（九）：洛伦兹代数和庞加莱代数

来研究（8.19）式。考虑无穷小庞加莱变换，左边化为：

（8.19）右边第一项变成：

（8.19）右边第二、三项变成：

对比发现生成元算符间的对易关系：

以生成元的6个分量作为基底张成线性空间，以对易关系（9.4）定义乘法，则两个矢量的乘积还是这个空间中的矢量，即乘法运算封闭，则称此线性空间为洛伦兹代数。

维李群的群空间由个连续实参数描述，可以看做维微分流形，O(N)和SO(N)是维李群，U(N)是维李群，SU(N)是维李群，对于维李群的一个维线性表示，在恒元附近，无穷小变换对应的表示矩阵可以展开为：

其中是个独立的阶生成元矩阵，生成元满足对易关系：

其中实数称为结构常数，满足不同的表示具有不同的生成元，不过，同一个李群的所有线性表示的结构常数都是一样的，描述了李群的局域性质。阿贝尔群的结构常数是零。生成元的对易子又叫李括号，是一种乘法运算。在生成元为基底张成的线性空间中，李括号运算是封闭的，构成代数，称为李代数。李代数刻画李群在恒元附近的局域结构。

洛伦兹群是一个六维李群，它的李代数就是洛伦兹代数。洛伦兹群任何线性表示的生成元都要满足洛伦兹代数关系（9.4）式。反过来，通过构造满足洛伦兹代数关系的生成元，，可以得到洛伦兹群的线性表示。

把生成元的6个分量组合成两个三维矢量算符。空间部分组合为：

时空混合部分组合为：

那么与的对易关系为：

而我们容易知道：

因此对易关系为：

又引入两个三维矢量：

是做洛伦兹变换时绕轴转过的角度，是沿轴的快度。从而，无穷小洛伦兹变换化为：

对于绕轴的空间旋转变换因此有：

由初始条件得到相应的量子旋转变换：

空间旋转对称性对应着角动量守恒定律，因此，就是角动量算符在轴上的分量。同理，就是总角动量算符。空间旋转群SO(3)是洛伦兹群空间部分的子群，总角动量算符是量子空间旋转变换的生成元。而（9.12）式就是SO(3)的李代数关系，结构常数就是。

SO(3)和三维李群SU(2)联系密切，在SU(2)的基础表示中，三个生成元矩阵为：

其中是3个2×2的泡利矩阵：

它们很神奇，既厄米又幺正：

泡利矩阵们的乘积们：

总结起来：

可以得到泡利矩阵的对易子和反对易子：

因此，SU(2)生成元的对易关系为：

因此发现，SO(3)和SU(2)的李代数关系完全一致，说明两个李群在恒元附近的局域性质相同。

但是，SU(2)群的整体拓扑性质与 SO(3)群不一样。SU(2) 和SO(3)的群空间都是连通的，更仔细地讲，SU(2) 的群空间是单连通的，连接群空间中两点的任意两条曲线可以连续地形变成彼此，等价地，群空间内任意一条闭合曲线可以连续地收缩为一点。SO(3)的群空间是双连通的，即连通度为 2，连接群空间中两点的曲线分成两类，同一类曲线能够连续地变化成彼此，不同类曲线则不能；相应地，闭合曲线也分为两类，有一类能连续收缩成一点，另一类不能。

另一方面，是增速算符。与的对易关系为：

自身的对易关系为：

归纳起来，有：

这是洛伦兹代数关系的另一种表述。可见，三个生成元自己就可以构成封闭的代数，而三个生成元则不能。

来研究（8.20）式。考虑无穷小庞加莱变换，左边化为：

（8.20）式右边给出：

得到对易关系如下：

以生成元和的10个独立分量作为基底张成的线性空间，用（9.4）（9.31）（9.32）定义乘法，就构成了庞加莱代数，这是十维庞加莱群的李代数。洛伦兹代数是庞加莱代数的子代数。

令则进一步推出：

整理一下，有：

（9.28）（9.37）（9.38）是庞加莱代数关系的另一种表述。

当时，由（8.11）式得到：

若不依赖于则由初始条件得知量子时间平移变换为：

它将态矢从时刻平移到时刻。时间平移对称性对应着能量守恒定律，因此就是哈密顿算符。

当时，由（8.11）式得到：

则由初始条件得知量子空间平移变换为：

它将态矢从位置平移到位置。空间平移对称性对应着动量守恒定律，因此就是动量算符。因此，是四维动量算符。在量子力学中，与哈密顿算符对易的量是守恒量，从而（9.38）式意味着总动量与总角动量守恒。

一般的量子时空平移变换可以表达为：

满足：