【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep44】第二波习题进行中
虽然是基础题，但是这几道题对刚上大一的小朋友来说往往还是有一定难度的，主要是第7题，一下子字又码多了，所以还有三题只能明天继续了。
今天继续习题——
我们昨天在例1、2聊了两种重要的函数对应的数列：多项式函数对应的数列、有理分式函数对应的数列。
多项式函数对应的数列，形如P（n）=a0n^k+a1n^（k-1）+……+ak-1n+ak（其中al是常数，l=0,1，……，k，且a0不为0），是一个无穷大量。
有理分式函数对应的数列，形如P（n）/Q（n）：P（n）=a0n^k+a1n^（k-1）+……+ak-1n+ak，Q（n）=b0n^j+b1n^（j-1）+……+bj-1n+bj （其中al是常数，l=0,1，……，k，且a0不为0，bm是常数，m=0,1，……，k，且b0不为0）——k=j时是有限值、k>j时是无穷大，k<j时是无穷小。
同时我们结合“不定式”的知识，知道有理分式函数对应的数列是一种∞/∞型的“不定式”，所以任何形如多项式函数的数列，或者形如有理分式函数对应的数列，我们都优先考虑能不能利用类似的转化和讨论来解决问题。
这本书上每一组例题最鲜明的特征是层层递进，上一题的结论可以就是下一题过程中的一步，这种编排和小说一样精彩。——这也是所有优秀的、经典的教材的共性。
对于刚上大一的小朋友，往往第7题不加铺垫地直接让你求zn，有一定难度。
32极限求法的例题
例5、6、7都是上述解题思路的应用，我们遇到类似的题型都可以做类似转化，并且应该是数列极限初学时最经典的几种常见题型其他许多题目都可以看做这几类题的变体，用夹逼准则之类的——
5.（n+1）^k-n^k型（其中0<k<1）——
乍一看仿佛和之前在Ep29聊过的伯努利不等式很像，但是仔细一看，我们学过的伯努利不等式中，要求指数为自然数，这里显然是没有达到的。——谢惠民《数学分析习题课讲义》上面有这个不等式的推广的，感兴趣的宝宝可以去读一下这本书。这本书上只聊了最朴素简单的伯努利不等式，我们也就按照书上的来。
于是形如（n+1）^k-n^k型（其中0<k<1）的∞-∞型“不定式”，我们观察到减数与被减数是齐次的，于是我们自然会想到“提公因式”的方法——
提公因式n^k：（n+1）^k-n^k=n^k[（1+1/n）^k-1]；
考虑指数函数（1+1/n）^k的单调性：底数为（1+1/n）>1，所以为单增函数，又k<1，于是（1+1/n）^k<（1+1/n）；
由1、2：0<（n+1）^k-n^k=n^k[（1+1/n）^k-1]<n^k[（1+1/n）-1]=n^（k-1）=1/n^（1-k）；
显然，{n^（1-k）}为无穷大，所以{1/n^（1-k）}为无穷小，这个数列极限为0即为所求。
——类似的，我们可以解出其他形如（n+A）^k-n^k型（其中0<k<1，A为常数）的题型。
例6、7、8都用到了“夹逼原理”——
6.n^（1/2）[（n+1）^（1/2）-n^（1/2）]型（其中0<k<1）——
由例4，我们已知括号内式子是无穷小，而我们用一个无穷大去乘以它，这是一种特殊的0*∞型“不定式”，由于括号内式子各项次数为1/2，我们自然会想到平方差公式，对应的方法叫做分子有理化，针对这种1/2次多项式相减的类型，这样就把∞-∞型“不定式”又转化回∞/∞的类型——
分子有理化：n^（1/2）[（n+1）^（1/2）-n^（1/2）]={n^（1/2）[（n+1）^（1/2）-n^（1/2）][（n+1）^（1/2）+n^（1/2）]}/[（n+1）^（1/2）+n^（1/2）]=n^（1/2）/[（n+1）^（1/2）+n^（1/2）]；
上下同时除以n^（1/2）：n^（1/2）/[（n+1）^（1/2）+n^（1/2）]=1/[（1+1/n）^（1/2）+1]；
考虑指数函数（1+1/n）^k的单调性：底数为（1+1/n）>1，所以为单增函数，由0<1/2<1，所以1<（1+1/n）^（1/2）<1+1/n；
由于数列{1+1/n}在n趋向于无穷大时，极限为1，固由夹逼准则，数列{（1+1/n）^（1/2）}极限为1；
由收敛数列的运算律，我们知道2中分母趋向于2，当n趋向于无穷大时；
于是得到极限为1/2。
7.xn=n/（n^2+n）^（1/2），yn=n/（n^2+1）^（1/2）
zn=1/（n^2+1）^（1/2）+1/（n^2+2）^（1/2）+……+1/（n^2+n）^（1/2）——
其中前两个数列极限的求法和例5、6大同小异，我们以yn=n/（n^2+1）^（1/2）为例——
我们注意到，我们可以分子分母同时除以n将其转化：yn=n/（n^2+1）^（1/2）=1/（1+1/n^2）^（1/2）；
方法同里6，考虑指数函数（1+1/n^2）^k的单调性：底数为（1+1/n^2）>1，所以为单增函数，由0<1/2<1，所以1<（1+1/n^2）^（1/2）<1+1/n^2；
由于数列{1+1/n^2}在n趋向于无穷大时，极限为1，固由夹逼准则，数列{（1+1/n^2）^（1/2）}极限为1；
故而yn的极限为1。
同理：xn的极限为1。
接着我们利用夹逼原理解出zn——
xn=n/（n^2+n）^（1/2）=1/（n^2+n）^（1/2）+1/（n^2+n）^（1/2）+……+1/（n^2+n）^（1/2）；
yn=n/（n^2+1）^（1/2）=1/（n^2+1）^（1/2）+1/（n^2+1）^（1/2）+……+1/（n^2+1）^（1/2）；
显然zn各项的分母都满足（n^2+1）^（1/2）<=（n^2+i）^（1/2）<=（n^2+n）^（1/2）——i=1,2,3，……，n；
于是xn<=zn<=yn；
又由于xn的极限为1，yn的极限为1，所以zn的极限也是1 。
8.题目很简单，但是已知最大值的几个正数的极限条件，是要牢牢记住的——
给出了m个正数：a1，a2，……，am，且已知最大数为A，求数列：（a1^n+a2^n+……+am^n）^（1/n）的极限。
信息量有三——
m个数；
都是正数；
最大值为A。
由此可得——
由条件：0<ai<=A——i=1,2，……，m；
由条件：至少有一个数取A，我们令这个数为a1；
由1可得：0<a2^n+a3^n+……+am^n<=（m-1）A^n：
由2、3：A^n<a1^n+a2^n+……+am^n<=mA^n；
由4，A<（a1^n+a2^n+……+am^n）^（1/n）<=Am^（1/n）；
我们之前已经在第一次习题课证明过数列{m^（1/n）}极限为1，所以{Am^（1/n）}极限为A；
由夹逼准则，（a1^n+a2^n+……+am^n）^（1/n）极限为A。
明天结束这部分习题！
