【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep65】实数完备性第三波定理互推（下）
Ep62,63有一部分有错，刚刚修正了，果然收藏大于点赞的情况就是这么尴尬，你们这些小傻瓜，让我有点担心嗷~
我们在Ep20提到：
“完备性”是“实数”完全不同于“有理数”的一个性质。
——所以，由此可以导出许多“实数”独有的定理。
以及——
“‘实数完备性/连续性’也是在大学数学专业《数学分析》课程中遇到的第一个重要的概念，以此为起点，导出的“实数连续性的六个定理”的相互推导，曾几何时是“北大数学系考研”连续几年《数学分析》的必出题，……，当然这道题往往是其中的送分题，……，简言之，就是，“实数的完备性”部分是数学系第一个要下功夫的学习重点。”
——实际上，实数基本原理有七个，但是聚点原理一般教材一元微积分部分不会深聊，所以我们掌握前六个翻来覆去的推导即可。
我们在Ep21聊了“实数完备性”的第一个定理——“确界原理”：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
我们在Ep49介绍了“实数完备性”的第二个定理——“单调有界原理”：单调有界数列必收敛。
并且我们在Ep49和Ep50介绍了前两个定理的互推。
我们在Ep61聊了实数完备性第三个定理：闭区间套定理——
闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；
lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——
则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。
同时，我们介绍了如何从“单调有界原理”推导出“闭区间套定理”。
Ep62介绍了如何由“闭区间套定理”反推“单调有界原理”的证明。
Ep64介绍了实数完备性第三波定理互推的前半部分，即如何由“确界原理”推出“闭区间套定理”。
今天介绍后半部分，即如何由“闭区间套定理”推出“确界原理”——
已知：数集E有上界（有下界）；
求证：数集E有上确界x（有下确界x'）。
数集E上确界x满足条件——
对于数集E中任意元素e，e<=x；
对于任意小数ε>0，E中存在元素e0，使得e0>x-ε。
工具：闭区间套定理——
已知——
闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；
lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——
则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。
分析：构造“闭区间套无限序列”，得到一个唯一的数（要点：一个闭区间套等价于一个数），再证明这个数即为该数集确界即可。
证明（以上确界为例）——
step 1：构造“闭区间套无限序列”——
已知数集E有上界b，即对于数集E中任意元素e，e<=b；
取E中元素a，令a1=a，b1=b，得到第一个闭区间[a1，b1]；
将[a1，b1]等分成两个闭区间，[a1，（a1+b1）/2]和[（a1+b1）/2，b1]——
如果（a1+b1）/2是E的上界，那么令a2=a1，b2=（a1+b1）/2，
如果（a1+b1）/2不是E的上界，那么令a2=（a1+b1）/2，b2=b1，
得到第二个闭区间[a2，b2]；
依次重复上述步骤……
将[ak，bk]等分成两个闭区间，[ak，（ak+bk）/2]和[（ak+bk）/2，bk]——
如果（ak+bk）/2是E的上界，那么令ak+1=ak，bk+1=（ak+bk）/2，
如果（ak+bk）/2不是E的上界，那么令ak+1=（ak+bk）/2，bk+1=bk，
得到第k+1个闭区间[ak+1，bk+1]；
……
将上述步骤无限进行下去，即得到一个闭区间套无限序列Im=[am，bm]，他们的拥有唯一公共点x。
Step 2：证明x即为所求上确界，依次验证满足上确界的两个性质即可——
（反证法）假如存在E中元素e'，满足e'>x，因为对于任意正整数j，bj都为E上界，即x<e'<=bj，由x构造可知，对于任意正整数k，有ak<=x<e'，即得，对于任意正整数n，|bn-an|>=|e'-x|>0，与lim（bn-an）=0（n趋向于无穷大时）矛盾，则x满足上确界条件一；
对于任意小数ε>0，我们要找到一个满足条件的L，使得aL>x-ε，即aL+ε>x即可，对于任意正整数m，有am<=x<=bm，由闭区间构造可知，bm-am=（b-a）/2^（m-1），即bm=am+（b-a）/2^（m-1）>=x所以，只需要取（b-a）/2^（L-1）<ε，即对于任意小数ε>0，存在L=log2 [（b-a）/ε]+2可使得，aL+ε>aL+（b-a）/2^（L-1）>x，即aL>x-ε；
综合1,2，x即为所求数集E的上确界。
今天就到这里。
