《几何原本》命题2.14【夸克欧氏几何】

命题2.14：

可建一正方形使其等于已知多边形

已知：多边形A

求：建一正方向使其等于多边形A

解：

建矩形BE×ED，S矩形BE×ED=S多边形A

（命题1.45）

如果BE=DE，那么正方形BCDE即为所求

（定义1.22）

如果BE≠DE，设BE＞DE

延长BE

（公设1.2）

在BE延长线上截EF=ED

（命题1.3）

取BF中点G

（命题1.10）

以点G为圆心，BG或GF为半径作圆

（公设1.3）

延长DE，与⊙G交点记为点H

（公设1.2）

连接GH

（公设1.1）

证明：S正方形EH2=S多边形A

证：

∵点G为BF中点，点E在BF上

（已知）

∴S矩形BE×EF+S正方形GE2=S正方形GF2

（命题2.5）

∵GF=GH

（定义1.15）

∴S矩形BE×EF+S正方形GE2=S正方形GH2

（公理1.1）

∵Rt△GHE中，S正方形EH2+S正方形GE2=S正方形GH2

（命题1.47）

∴S矩形BE×EF+S正方形GE2=S正方形EH2+S正方形GE2

（公理1.1）

∴S矩形BE×EF=S正方形EH2

（公理1.2）

∵EF=ED

（已知）

∴S矩形BE×ED=S正方形EH2

（公理1.1）

∵S矩形BE×ED=S多边形A

（已知）

∴S正方形EH2=S多边形A

（公理1.1）

证毕

此命题是本卷最后一个命题