前言

        本文为前一篇文章「理论分析--集成运放实现IPDPI」的续作，在阅读本文之前建议先阅读前文，加深印象。前文主要对IPDPI器进行傅里叶变换分析，本文将对其进行拉普拉斯变换分析，以获得更多的观察结果。由于该电路是从开关电源的反馈环路上用作环路补偿的，所以本文也称之为环路补偿器。

        前文引导：https://www.bilibili.com/read/cv12005749

正文

1、复频域（s域）

        在分析电路之前，先看看拉普拉斯变换后的复频域（也叫s域）的物理意义。

        傅里叶变换把时域变换成频域，在图中以一条红线标注。可以看到，频域只是复频域中的一部分，所以说傅里叶变换是拉普拉斯变换的一种特殊形式。

        虚轴（纵轴）为频率ω，原点处为0，离原点越远频率越高；负虚轴为负频率，代表虚指数exp(jωt)的旋转方向相反，其幅值与正频率相同（偶函数），相角与正频率相反（奇函数），仅为数学计算需要，无实际物理解释。傅里叶变换本质把一个波形分解成各个虚指数分量。当在虚轴上插入一个极点，其极点处的虚指数分量即被提取，对其进行傅里叶逆变换后（σ=0的拉普拉斯逆变换），便得其出波形。现在往s平面上戳个极点，并沿着虚轴从负到正过一遍，下图为其逆变换后的输出波形：

        实轴（横轴）为增长率σ，其逆变换后输出波形振幅为exp(σt)（正变换时把“exp(σt)”称之为衰减因子）。拉普拉斯变换为傅里叶变换的拓展，把一个波形分解成各个复指数分量。当往s域戳个极点，其极点处的复指数分量即被提取，对其进行拉普拉斯逆变换后，便得出其波形。现在往s平面上戳个极点，并沿实轴从负到正过一遍，下图为其逆变换后的输出波形：

        现在用极点把s域过一遍，并对其逆变换。理解了坐标轴处的逆变换波形后，s域波形即为两种波形的正交组合。下图展现几个有代表性的输出波形：

        牢记这张图，它反映着系统输出的波形对应其极点在s域的位置。

2、对数坐标系

        电路分析时需要分析系统的频率响应，而频率ω范围很广，从0 rad/s到1 Grad/s 均要分析。若使用线性坐标系，低频许多细节被压缩到无法查看，而高频部分变化不大却被展宽，不利于其分析。而对数坐标系把低频放大，高频压缩，1 rad/s到1 Grad/s对数化后将变成0到9的线性坐标，对分析有利。

        同样，电路对信号的放大倍数跨度从0.001倍到1000000倍均有。线性坐标系下，大部分细节被压缩无法查看，而对数坐标系则能很好完成此任务。同时对零点有明显显示作用（log(0)=-∞）。这也是伯德图（波特图）使用对数坐标系的原因。

        对数底数的约定：本文默认log(x)均以10为底，ln(x)均以e为底。

        需要注意的是：对数坐标系无法取到0！（因为log(0)=-∞）。把s域对数化后，其坐标轴位置的数据无法画出，所以对数坐标系只能画出s域的一个象限。对于虚轴ω，负频率与正频率是对称的（上半平面和下半平面一样），所以三四象限可以不用画。对于实轴σ，只要确定右半平面没有极点就可以不用画第一象限。因为右半平面有极点时输出信号是发散的（自激），系统本就不稳定。我们只对稳定的系统感兴趣，而稳定系统极点都在左半平面，所以只需画第二象限的s域即可。

3、IPDPI器电路

        首先这是IPDPI器的电路图：

        同上一期，为简化电路，减少工作量，电路分块成两个阻抗Z1和Z2，各自单独分析一个阻抗后，再组合成整体分析。

4、阻抗Z1：RC串并C

        已知电阻的复阻抗依旧为R，电容的复阻抗为1/ sC，按照串并联的阻抗计算规则，即可得电路Z1的复阻抗，同时获知其极点和零点：

        现在来看看Z1的函数图（z轴为Z1模长且开对数）。由于打点精度关系，分两张图，一个上限到3k，一个上限到300k：

        函数图中有一条红色线，这条线是σ=0的线（即虚轴），在虚轴右侧没有极点，而在虚轴本身有一个极点，虚轴左侧有一个极点和一个零点。现在转到对数坐标系。

        观察发现，红色线描绘的轨迹，即为伯德图的轨迹（可参考前一篇文章）。再次印证：傅里叶变换得到的频线，只是拉普拉斯变换其中的一条。

        可以看到，极点（Pole）存在会导致阻抗往容性方向转变，同时导致相位-90°的能力。零点（Zero）则与极点相反，导致阻抗往感性方向转变，同时导致相位+90°的能力。由于Z1的零极点出现顺序是p->z->p，所以导致Z1阻抗为容->阻->容（对比前一篇文章可证）。

5、阻抗Z2：RC串并R

        通过简单的串并联计算可得其复阻抗和零极点：

        先看看Z2函数图：

        可以看到函数图的虚轴右侧没有极点，在虚轴左侧有一个极点和一个零点。现在转到对数坐标系：

        同样观察发现，红线描绘的轨迹即为伯德图的轨迹。因为Z2的零极点出现顺序是p->z，所以Z2阻抗为阻->容->阻。

6、IPDPI器传递函数

        根据集成运放的特性即可得出传递函数为H=-Z1/Z2（具体公式可参见前一篇）。注意由于Z2放在分母，其零极点发生调换。并且集成运放接成反比例模式，输出会与输入反相（或者说多产生180°相移），所以带上负号。现在观察其传递函数以及零极点：

        可以看到IPDPI器具有3个极点，2个零点。由于C1>C2，R2>R3（设计要求），可得知p2>z1（绝对值），p3>z2（绝对值）。换句话说就是IPDPI器提供了1个直流极点，2个高频极点和2个中频零点。根据零极点相消特性，当其用在开关电源反馈环路时，可消去2个中频极点以及2个高频零点，提供环路补偿，优化电源的响应。其最终响应需要和开关电源本身的传递函数相乘结合，形成闭环传递函数，方能求出。在实际设计中，一般是先求出开关电源的传递函数，再根据其零极点位置设计IPDPI器，使零极点相互抵消。

        现在欣赏下IPDPI器的传递函数图：

        可以看到虚轴右侧没有极点，现在转到对数坐标系：

        同样观察发现，红色线描绘了其伯德图响应轨迹。按照零极点出现的顺序：p1->z1->z2->p2->p1，可得其传递函数体现I（积分）->P（比例）->D（微分）->P（比例）->I（积分）的特性，故我把它称之为IPDPI器。

总结

        本文对IPDPI器进行了拉普拉斯变换分析，得出其传递函数，其精髓也在其传递函数，。至于其输出信号波形（时域解析式）无需其过多关注，若真想看借助计算机电路仿真软件即可，不必在此浪费自己的精力。在写本文时本人就曾尝试计算其输出波形（拉普拉斯逆变换），但最终发现，其输出时域解析式无外乎以下形式：

        K1到K4是个常数，只是给不同波形加权不一样罢了，但其值与Uin有关，所以不同输入波形Ui都会导致不同的K值，全部求解费时费力，不如有现实场景使用数值解，而不是解析解。其中式子1--3项都是「暂态响应」，因为极点（Poles）的实部Real都是小于（等于）0的，随着时间t推移，其值都会归0（保持一个常数），只剩下第4项「强迫响应」。（当Real p=0时，若Imag p=0，则是一个直流分量，值为K；若Imag p≠0，则是一个正/余弦分量，振幅为K）。所以除了第4项和Real p=0的项需要关注外，其它项可以省略不算（除非目的就是观察暂态响应）。至于K4的值在前一篇傅里叶变换中已经给出解析解，本文此处不再重复。

        不过有个结论需要记一下：如果Uin波形的拉普拉斯变换后的极点，正好命中传递函数的零点（Zeros）的话，其强迫响应会被“吞掉”（K4=0），只剩下暂态响应。换个通俗的话说，传递函数的零点相等于表示电路对这部分波形的响应是零，输入这部分波形电路就会直接把它吞掉。这也是零极相消的意思，如果电路输入了一个波形（极点），但我不想输出有这个波形，那就弄个零点去把它给“吞”了。反过来思考，如果电路中有一个零点在那吞波形但我想保留波形，那就制造一个极点去把这个零点给“湮灭”掉。这就是环路补偿的思想。

        如果输入波形的极点正好命中传递函数的极点，这时候极点称之为「双重极点」，其输出响应将为幂指函数：t*exp(p*t)，此时输出开始时将是增长状态（虽然最后会被exp拉回到0），双重极点不利于电路稳定，设计时最好避免产生双重极点。

        总之，IPDPI器是在开关电源反馈环路上抠下来的，要分析其起到的作用，只能放回开关电源里进行综合分析，看整个电源的总体效果。若单独抠下来使用，那它确实只能作为一个IPDPI器了。（完）

by HD-nuke8800

2022/3/25

附录

        本文函数图像采用MATLAB绘制，以下为绘制传递函数代码：

「

」