第三章 微分中值定理与导数的应用 总结
• 第一节 微分中值定理
1. 罗尔定理
a. 费马引理：设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意x属于U(x0)，有
f(x0)>=f(x)(或f(x0)<=f(x))
那么f'(x0)=0.
b. 罗尔定理：若函数满足
1) 在闭区间[a,b]连续
2) 在开区间(a,b)可导
3) 在区间端定处的函数值相等。
那么在(a,b)内至少有一点t（a<t<b)使f'(t)=0
2. 拉格朗日中值定理
若函数f(x)满足
1) 在闭区间[a,b]连续
2) 在开区间(a,b)可导
那么在(a,b)内至少有一点t使
f(b)-f(a)=f'(t)(b-a)
成立
3. 柯西中值定理
如果函数f(x)及F(x)满足
1) 在闭区间[a,b]连续
2) 在开区间(a,b)可导
3) 对任一x属于(a,b)，F'(x)不为0
那么在(a,b)内至少有一点t使等式
［f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(t)/F'(t)
成立
• 第二节 洛必达法则
注意，需f'(x)及F'(x),lim(f'(x)/F'(x))都存在该法则才成立,且需在0/0或无穷比无穷的未定式才能用.
• 第三节 泰勒公式
1. 泰勒中值定理1
如果函数f(x)在x0处具有n阶导数,那么存在x0的一个邻域,对该邻域内的任一x有
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2 +•••+[(f(x0))^(n)/n!](x-x0)^n+Rn
其中 Rn(x)=0((x-x0)^n（佩亚诺）
2. 泰勒中值定理2
如果函数f(x)在x0的某个邻域U(x0)内具有(n+1)阶导数,那么对任一x属于U(x0),有
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2 +•••+[(f(x0))^(n)/n!](x-x0)^n+Rn
其中（）
R(n)={[f(t)^(n+1)]/(n+1)}(x-x0)^n+1
t在x和x0间
注：R(n)可视作误差
• 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
1. 函数单调性判定：导数符号
2. 曲线的凹凸性与拐点
a. 凹凸性判定
i. f[(x1+x2)/2]与(f(x1)+f(x2))/2比较前大为凸后大为凹
ii. 二阶导符号为正则凹，负则凸
b. 拐点：曲线凹凸性改变的点
令二阶导为0求解及不存在的点两边符号改变,此即为拐点
• 第五节 函数的极值与最大值最小值
1. 极值
a. 定义：设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,如果对于去心邻域内任一x,有
f(x)<f(x0)或f(x)>f(x0)
那么就称f(x0)为函数f(x)的一个极大值或极小值.
b. 定理1（必要）设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,则f'(x0)=0
c. 定理2（充分1）设函数f(x)在x0处连续且在x0的某去心领域内可导。
i. 左边导数大于零右边导数小于零则取极大值
ii. 反之
iii. 不变无极值
d. 定理3（充分2）有二阶导且f'(x0)=0,f''(x0)不为0,则
i. 小于零极大
ii. 大于零极小
2. 最值问题
注意导数不存在的点，就比左右导的符号。
• 光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播
• 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为W=(1/6)bh^2
• 第六节 函数图形的描绘(重要）
1. 第一步 确定y=f(x)的定义域及函数所具有的某些特性，并求出一阶导和二阶导
2. 第二步 求一阶导及二阶导的零点，原函数的间断点，导数中不存在的点，并利用这些点将定义域划分成几个部分区间
3. 第三步 确定函数的升降，凹凸和拐点
4. 第四步 确定趋势及渐进线
5. 第五步 细节补充
• 第七节 曲率
1. 弧微分
a. 弧M0M(有向弧段)的值为s,其中s为x的单调增函数
b. 弧微分公式：
ds=[√(1+(y')^2)]dx
2. 曲率
a. K=|da/ds|
*da为角度变化量
b. K=|y''|/[(1+y')^(3/2)]
3. 曲率圆与曲率半径
a. p=1/K
b. 曲率圆：以p为半径M为切点的圆
4. 曲率中心 渐屈线与渐伸线
○ a=x-[y'(1+y'^2)/y'']
○ b=y+[(1+y'^2)/y"]
*渐伸线与渐屈线是一种相互关系
• 第八节 方程的近似解
1. 二分法
2. 切线法
a. 以直代曲
b. 在纵坐标与y"同号的那个端点处做切线
c. x1=x0-f(x0)/f'(x0)
3. 割线法
*以割线代切线
