和弦的几何
要讲的是两个几何模型。
音类圆周。它的目的是把传统的三度叠置的和弦推广到一般的情形，可以是非调性的。
音网。它强调的是调性关系，也就是五度和三度。按照调性关系形成环面上的网络。是五度圆周的推广。
在此之前首先是一些胡思乱想。音乐大概可以说有物理和心理两个属性。物理上，比如弦振动，膜振动，背后的Dirichlet特征值问题，对于不同人来说都是一样的。心理上，或者说艺术上，不同人的感知当然不同，在“感知空间”上有一个测度。这个测度肯定不是均匀的，大概会像large deviation一样有一种“概率的凝聚”在里面，所以偏离rate function最低点的人数比例是指数减少的。这样一来艺术的理论才有意义，要不然均匀分布的感知产生的就是完全随机的艺术，谁也看不懂谁。
那么我们就要问，这个rate function最低点到底是啥。我觉得也许是（或者说包含了）Weber-Fechner定律，也就是对数感知。不管对于数目，音高，声压，还是很多物理量，人的感知都是对数形式的。边际效应递减也是同样的道理，它落在rate function最低点上，所以除去稀有事件以外，经济学里都假设边际效应递减。
我们现在着重研究和声。Weber-Fechner定律很自然地导致人类发明了三分损益、五度相生，以至于后来的纯律和平均律。如果人的感知是线性的话，发展起来的律学也就完全不一样了。
进一步，“积性数论”导致了missing fundamental效应。我们听到的音乐都是带有一整列泛音的（当然你可以用Mathematica生成纯正弦波，但是自然中没有这种东西），从这一整列泛音中怎么能听出一个音高来？missing fundamental效应说你听到的是频率的最大公约数。所以听钢琴听到的就是基频，听定音鼓听到的就是名义频率，听理想膜振动就听不出音高感，听纯五度就很舒服（因为泛音列重合之后，最大公约数没有被破坏），听大二度就不舒服（比较严重地破坏了泛音列的重叠）。大多是人的听感都是这样的，音乐才会这样发展。勋伯格那套无调性音乐破坏了这里面的一些东西，所以觉得好听的人少；可是即使是这些
人也不会觉得把自然大调改成等差数列会好听。所以我们也许可以把Weber-Fechner定律当作“音乐的心理属性”的一条公理。从它出发，解释纯音程完全协和，大小三度、大小六度不完全协和之类的都很舒服。
音类圆周
首先我们用音类这个等价类。为什么用音类这个八度等价类合理，前面的Weber-Fechner定律已经说了。差了八度，从泛音列角度来看还是完全重合的。它的好处在于，音程和和弦转位以后还不没变。
我们注意到音类圆周上的移调变换群和模12的同余类群是同构的：
所以干起事情来就很方便：移调，逆行，倒影等等。
接下来，传统的三度叠置的和弦可以推广到一个一般的n-和弦，它就是音类圆周上任意一个多边形。理论上来多去除了所有限制，所以简单了很多。
对于一个n-和弦，其距离向量用于刻画包含的所有音程。比如全音程和弦的距离向量是(1,1,1,1,1,1)。
距离向量有两个有趣的用途：
计数一个n-和弦通过移调变换能够变出多少不同的和弦。
刻画一个和弦的协和程度。
关于第一个问题，显然，它取决于这个和弦的对称性；对称性越高，数目越少。用距离向量可以直接看出稳定化子，而根据
就可以求出轨道长度，也就是不同的和弦个数。
关于第二个问题，我们把距离向量归一化，然后按照加权平均计算平均不协和度：小二度为8，大二度为4，小三度、大三度为2，纯四度为1，增四度为6。由此定义的加权平均可以刻画和弦的不协和程度。
音网
音网有两种对偶的表达，一个是音类的音网，一个是三和弦的音网。我比较喜欢先构建出前面那个，再做对偶。
接下来就是音类的音网。它是五度圆周的推广。学调式的时候会拿五度圆周出来辅助记忆，那时候给人的感觉像是一种巧合。但是在音网里面，这件事情的合理性就非常明显了。
前面说了，音网强调的是不同音类之间的调性关系，具体来说就是纯五度（纯四度）和大小三度（大小六度）。那很简单，我们把有这些关系的音类连接起来，形成网状就行了。先画出五度关系，连成一个五度圆周。然后在五度圆周上每个点都按三度关系绕圈，就变成一个环。
当然，在不是十二平均律的时候不能绕成圈。而且按照这种一层层的升降号写，在考察调式或者和弦的传统写法时比较方便。毕竟写调号的时候还是要按规矩来。
在这个音网中，每个三角形都是一个三和弦。于是其对偶图中，每个点都是三和弦。相邻的三和弦之间的关系是新黎曼变换P、R、L。此时的图形是六边形的蜂巢状网络。
当然音类音网画起来方便得多，也很容易转化到对偶形式。
且不说别的理论意义，音网对我来说最直接的意义就在于把乐理全部直观地几何化了。具体来说是以下四点：
音程
和弦
调式
和弦进行
下面具体来分析。
首先是音程。
直接存在的三种音程关系是协和音程，平着是纯五度，斜着是三度和六度，具体哪条小三度之类的无所谓，看你怎么画了。这三种是直接连接，代表是和谐的。如果无法直接相连，就代表着两个音类之间的调性关系不大，不和谐。比如绿色箭头的小二度，要通过大三度和纯五度两次才能连起来，所以不是协和音程。
然后是和弦。
每个三角形都是一个协和的三和弦（大三和弦、小三和弦）。在这张图里，朝下的是小三和弦，朝上的是大三和弦。相邻三和弦之间的关系是新黎曼变换。具体还可以分析根音、三音、五音，这按照平着五度斜着3/6度很容易分析。
当然还可以分析别的和弦。一个一般的n-和弦无非是音网上的一块东西，这块东西聚集地越密集，说明越和谐。所以大三和弦和小三和弦是最和谐的。如果我们画出无调性音乐中所谓的全音程和弦，会发现它就没这么“聚集”，所以不和谐。算一算平均不协和度也可以说明这一点。
接下来是调式。
调式同样无非是音网上的一块东西，这块东西聚集地越密集，说明越和谐。不过它是一个带序的集合，所以你除了圈出一块东西以外，还需要标出主音。（和弦就不需要了，一看就能看出根音）
首先是最基本的C大调和a小调。二者的集合都是ABCDEFG，但是主音不同。画在音网上面就是：
接下来就可以干很多事情了：
判断一个调式里会出现什么三和弦。只要数一下三角形就可以了。
反过来，判断一个三和弦会出现在什么调式中。
关系大小调就是移动一下根音，保持整块不变；平行大小调就是保持根音不变，移动整块。
判断一个调式有几个升号/降号。只要把平行四边形移动一下即可。
其他调式，比如Dorian、Phrygian之类的，还是完全一样地去考察。
最后是和弦进行。
和弦进行就是音网上的一条路径。常见的和弦进行包括：
这些和弦进行反映在音网上大部分是一步走（一个P/R/L变换），有些需要两步或者三步。一步说明变换比较“平滑”。
一个简单的例子。Haydn’s Piano Sonata in E-minor, Hob XVI:34, measures 72 to 76：
画在音网上就是：
