MIMO 系统的 SVD 预编码浅析
MIMO 系统中，如果发射天线多于接收天线，那么我们不能做到每根发射天线都发射一个有效数据，例如 三发两收的情况，我们不能同时发送三个数据出去。在前面几篇文章和视频中有做详细介绍。
录制的视频：https://www.bilibili.com/video/BV17e4y1h7jY/
这篇文章的目的，是如何安排在三个发射天线上发送的数据？使得两根接收天线能接收到两个有效数据？当然，这个可以很自然地扩展到更多的发射天线，前提是接收天线数量少于发送天线数量。
对本篇文章的理解，需要简单的线性代数的知识，包括矩阵乘法，正交向量，奇异值分解（SVD），线性空间。看本篇文章不需要看前面的几篇文章，当然，先看看前面几篇文章，会有更深的理解。
主要以三发两收为例进行讲解，因为三维空间和二维空间是我们容易想象和理解的空间。
系统的示意图如下：
在下面这个文章中，我们讨论了估计发送数据的方法：
前面文章中提到的发送数据的方式，看起来很怪异，结构化不是很好，第一时刻发送三个新数据，第二时刻只发送一个新数据，看起来不是很均匀地发送有效数据。那我们能否做到在每个时刻都是发送两个新数据呢？但是，有三根发射天线，那怎么发的，这两个新数据通过哪个或者哪些天线发呢？
这就是我们今天要讲的，通过 SVD 分解，来做 x1 和 x2 的线性组合。
从这里开始，我们对有效数据的发送，引入新的记号，即我们要发送的有效数据 记为 c1 和 c2，通过三根天线打出去的信号数据，记为 x1,x2 和 x3.
信道的系数矩阵，我们记为：
则接收到的数据，我们记为 y1, y2, 暂时先不考虑噪声的干扰，则：
即：
线性代数的基本知识告诉我们，信道系数矩阵 W 可以做 奇异值分解(SVD - Singular Value Decomposition):
其中 U 是 2x2 的酉矩阵（单位正交的复数矩阵，行向量间两两正交，列向量间两两正交，列向量的模长为 1），V 是 3x3 的酉矩阵，S 是 2x3 的实数对角矩阵，且只有对角线上的元素才可能不为 0 ，且大于等于 0.
酉矩阵（或者对应实数情况下的单位正交矩阵，后面就都用酉矩阵来说明）的几何意义，是对向量的刚性旋转，不改变向量的长度，只是改变向量的方向。 则 矩阵，可以认为是一个旋转矩阵。
我们来看上面公式 (1) 中：
对于酉矩阵（或单位正交矩阵），作用在一个向量上，就是对向量做了旋转，由于 , 所以， V 和
互为逆旋转。
三发两收中，V 是一个 3x3 的矩阵，所以，可以理解为在三维空间中对一个向量 X 做旋转。
假如发送的有效数据是 c1 和 c2，我们构造一个向量：
令：
X = VC
相当于对 C 做了一个旋转，那么对 X 再做一个 V 的逆旋转，即乘以 ，我们就又可以得到 C:
至此，我们可以看到，信道系数矩阵做了 SVD 分解之后，本来是 一步作用在接收向量 X上的，但是，我们可以视为分三步按顺序先后作用在 X上
作用完 VH 之后，我们已经得到了 C，但是，后面两步的效果，需要在接收端做一次逆左右，即
这是从数学公式的推导上，我们可以得到这个过程。
我们从空间几何的角度，再重新理解一下上面的过程。
我们把
这是一个二维空间中的向量，我们把这个二维空间作为一个平面，再增加一维，构成三维空间，新增加的一维与当前这个二维空间平面正交，则在三维空间中，坐标为：
我们用 V 来在三维空间中做一个旋转，得到 X.
也可以这样理解，以三维空间中 两个向量构成的平面，用这两个向量的线性组合，生成一个新的三维空间中的向量 X，
而 作用在 X 上，相当于把
两个向量构成的平面 旋转到两个轴构成的平面上，让第三个轴的坐标 为 0. 本来，到这里我们已经拿到了原始的数据。但是， H 中后面两个部分，相当于在这个二维平面上对 二维向量做了拉伸和旋转的动作，所以， 我们还要做一下逆拉伸和逆旋转的动作，只是这次的逆旋转是用
。
令
则
由于 C 中第三个坐标为 0，
所以
由于 S 的第三列为 0，所以
所以
这就是我们接收的数据，因此
如果我们对
不使用 ，而是使用其它的一个基（由另外两个单位正交向量构成的一个基），那会怎么样？假如我们用
则再往下乘的时候，会丢弃掉 , 会丢失有用信息；另外，
和
会相互影响，就不容分离开。
举个例子：
Y1= [ 5.00000000e-01, -6.00000000e+00, 0]
Y2= [ 0.99004132, -0.04847483]
Y = [-0.49681329, 0.85773434]
C1= [ 0.99004132, -0.04847483]
C2 = [ 0.5, -6. , 0. ]
可以看到， 信号 X 在通过信道的第一个阶段 () 后，已经变成 Y1，其中第三个轴的坐标为 0，表明这个 Y1 在另外两个轴构成的平面上。再经过拉伸和旋转，变成了接收天线拿到的数据 Y.
Y 在二维平面上，经过逆旋转 ()和逆拉伸( 乘以 V 的伪逆矩阵），得到三维空间中的坐标 C2，但是，第三轴坐标是 0. 删除第三个坐标，我们拿到的就是发送的数据 CC = C.
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说点题外话，塑料垃圾流到海洋和河流中，很多动物误食塑料后活活饿死，所以，还请把塑料垃圾妥善丢到垃圾桶内，当然，最好减少塑料的使用。
