从欧拉公式到泰勒展开

        公元1748年，欧拉发表著名的公式：

        这个公式还有更加著名的一面：

        这就是欧拉公式。

        该公式联系起数学中最重要的5个常数：

            ：最小的自然数，原点

            ：最小的正整数，单位元

            ：自然常数，

            ：圆周率，圆的周长与直径的比值

            ：虚数单位，

        因而被誉为“最美的数学公式”。

        1712年7月，泰勒提出著名定理：

        其中，称为阶泰勒余项。

        以上即为著名的泰勒展开式。

        特别的，当时，有

        称为阶麦克劳林公式。

        以上为基础知识，下面进入正题。

        先来看三个特殊函数的麦克劳林展开式。

        读者可自行验证。

        谈到这里，就不得不说明一个重要概念——解析延拓。

        简单来说，就是补充原有函数的定义域。

        说得好玩一点，就是数学家喜欢把本来不应该往里面放的东西放到里面去，比如说这里的，照理来说也该是个实数，偏偏数学家放进了别的东西：复数，甚至是矩阵。

        这里，数学家放入了虚数，于是有：

        代入，立刻得到：

后记：

        基础介绍片，为后续数学工具应用作准备。