Proof of a δ-Function Identity in Weinberg QFT Vol.1 Section 2.5

Weinberg书里对这个identity的证明（p.66-67）我个人感觉是非常粗糙的，忽略了很多细节，并且还涉及到一些我个人认为模糊不清、没有事先定义清楚的概念，比如“volume element”和“Lorentz invariance”. 我在网上看到的各种视频、讨论都没有给出让我满意的证明。我在下面的证明中规避了这些概念，其中使用了integration on R^d中关于change of variable的结论。在本文中delta function被看作为一个distribution，我们要证明的identity也是一个equality of distributions.