计算机组成原理学习记录2-数据的表示和运算

数据的表示和运算

数制与编码

进位计数制及其相互转换

十进制、二进制、八进制、十六进制的相互转换

真值和机器数

真值

是指带“+”或“-”符号的数，是机器数代表的实际值。

机器数

是指把符号“数字化”的数，其表示形式有原码、补码、反码和移码。

无符号整数：全部二进制位都是数值位，没有符号位，第i位的位权是2的i-1次方。

n比特的无符号整数表示范围为0-2n-1，超出则溢出，意味着该计算机无法一次处理这么多。

可以表示的最小的数全0，可以表示的最大的数全1。

加法：从最低位开始，按位相加，并往更高位进位。

减法：被减数不变，减数全部位按位取反，末尾加一，减法变加法。从最低位开始，按位相加，并往最高位进位。

编码

BCD码

用四位二进制代码来表示一位10进制的数。最常见的是8421码

ASCII码

标准ASCII码采用7位二进制代码来表示通用控制字符、十进制数码、英文大小写字母和专用符号

汉字编码

包括输入编码、汉字内码和汉字字形码

校验码

奇偶校验码

在原编码上加上一个校验位，校验整个校验码中“1”的个数是否为奇数或者偶数

奇校验码：整个校验码（有效信息位和校验位）中“1”的个数为奇数。校验位为0，否则为1

偶校验码：整个校验码（有效信息位和校验位）中“1”的个数位偶数。校验位为0，否则为1

偶校验的硬件实现：各信息进行异或（模二加）运算，得到的结果为偶校验位。异或是同0异1。

循环冗余（CRC）码

在M为信息后面再拼接N位的校验码，利用模2除法校验编码正确性

海明校验码

在信息字段中插入若干位数据，用于监督码字里哪一位数据发生了变化，具有一位纠错能力

定点数（带符号整数）

表示

原码

用机器数的最高位表示该数的符号，其余的各位表示该数的绝对值。符号位为0表示正数，符号位为1表示负数。

若机器字长n+1位，带符号整数的原码的表示范围：

真值0有两种形式，+0和-0，+0=0，0000000，-0=1，0000000

原码中符号位不能参与运算，需要设计复杂的硬件电路才能处理

用补码表示真值-符号位可以参与运算。

 

反码

正数和原码相同，负数为原码的每位求反（不包括符号位）

带符号整数的反码的表示范围：

补码

正数和原码相同，负数为反码的末位加1，即负数为原码的每位求反再加1（不包括符号位）

带符号整数的补码的表示范围：

补码加法：从最低位开始，按位相加（符号位参与运算），并往更高处进位。

移码

补码的符号位求反

移码只能用来表示整数，真值0只有一种形式

带符号整数的移码的表示范围：

原码和反码的合法表示范围完全相同，都有两种方法表示真值0

补码的合法表示范围比原码多一个负数，只有一种方法表示真值0

常见考点：两个数A和B进行某种运算后，是否发生溢出？

手算做题可以带入十进制验证，是否超出合法范围

 

运算

移位运算

原码和反码的加减乘除运算

真值《-》原码（0正1负）

原码《-》反码（正数相同，负数数值位取反）

原码《-》补码（正数相同，负数数值位取反，末尾加1）

反码《-》补码（正数相同，负数末尾加1）

[-x]补码《-》[x]补码（全部位按位取反，末尾加1）

补码《-》移码（符号位取反）

 

定点数（带符号小数）

表示

原码、反码、补码

运算

真值《-》原码（0正1负）

原码《-》反码（正数相同，负数数值位取反）

原码《-》补码（正数相同，负数数值位取反，末尾加1）

反码《-》补码（正数相同，负数末尾加1）

[-x]补码《-》[x]补码（全部位按位取反，末尾加1）

补码加减法运算方法

Nbit补码X+Y，按位相加即可

Nbit补码X-Y，将补码Y全部按位取反，末位+1，得到[-Y]补，减法变加法。

 

标志位生成

OF（溢出标志，溢出为1，否则为0）

计算方法：OF等于最高位产生的进位异或次高位产生的进位

OF对无符号的加减法无意义

SF（符号标志，结果为负号时为1，否则为0）

计算方法：SF=最高本位和

SF对无符号的加减法无意义

ZF（零标志，运算结果为0时，ZF置为1，否则置为0）

计算方法：两个数的运算结果为nbit，只有n位全为0时，ZF=1

CF（进位/借位标志，进位借位时为1，否则置为0）

计算方法：最高位产生的进位异或sub，sub=1表示减法，sub=0表示加法。

CF对有符号数无意义

移位运算

算数移位

原码：符号位不变，仅对数值位移位。右移：高位补0，低位舍弃。如果舍弃的位=0，则相当于/2，若不=0，则会丢失精度。左移：低位补0，高位舍弃。若舍弃的位=0，则相当于*2，若不=0，则会出现严重误差

反码：正数的反码与原码相同，正数反码的移位运算也和原码相同。负数的反码数值位与原码相反，因此负数反码的移位运算规则如下。右移：高位补1，低位舍弃。左移：低位补1，高位舍弃。

补码：正数的补码和原码相同，正数补码的移位运算也和原码相同。负数补码=反码末位+1。导致反码最右边几个连续的1都因进位而变为0，直到进位碰到第一个0为止。负数补码的算数移位规则如下：右移：高位补1，低位舍弃。左移，低位补0，高位舍弃。

逻辑移位

逻辑右移：高位补0，低位舍弃

逻辑左移：低位补0，高位舍弃

可以把逻辑移位看作是对无符号数的算数移位

循环移位

不带进位位：用溢出的位补上空缺

带进位位：移出的位放到进位位，原进位位补上空缺

两个定点小数进行加减法时，需要先转换为补码

定点小数补码的加法：从最低位开始，按位相加（符号位参与运算），并往更高位进位。

定点小数补码的减法：被减数不变，减数全部位按位取反，末位+1，减法变加法。从最低位开始，按位相加，并往更高位进位。

位拓展时，定点小数是在末尾添0，定点整数是在符号位后填0

小数补码加法和整数一样，从最低位开始，按位相加（符号位参与运算），并往更高位进位。

小数补码减法和整数一样，被减数不变，减数全部位按位取反，末尾加1，减法变加法。从最低位开始，按位相加，并往更高位进位。

 

强制类型转换

无符号数与有符号数：不改变数据内容，改变解释方式

长整数变短整数：高位截断，保留低位

短整数变长整数：符号扩展

 

数据的存储和排列方式

多字节数据在内存里一定是占连续的几个字节

01234567H中，最高有效字节（MSB）01，最低有效字节（LSB）67。

大端方式：01H 23H 45H 67H

小端方式：67H 45H 23H 01H

边界对齐

现代计算机通常按字节编址，每个字节对应一个地址。通常也支持按字、半字、字节寻址。设存储字长为32位，一个字=32bit，半字=16bit，每次访存只能读写1个字。

边界对齐方式中，访问一个字/半字都只需一次访存

边界不对齐方式中，访问一个字/半字可能要两次访存

浮点数

表示

组成

阶符、阶码（反映浮点数的表示范围）、数符和尾数（反映浮点数精度）

阶码反映了浮点数的表示范围和小数点的实际位置，尾数的数值部分的位数反映浮点数的精度。

阶符的运算相当于对尾数进行算数移位

规格化

规定尾数的最高数位必须是一个有效值

左规：尾数算数左移1位，阶码减1。直到尾数最高位是有效位。

右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为0或1）时，将尾数算数右移1位，阶码加1。

采用双符号位，当溢出发生时，可以挽救。更高的符号位是正确的符号位。

用原码的表示的尾数规格化：规格化的原码尾数，最高的数值位一定是1.正数时，最大值为0.1111...,最小值为0.100000.尾数的表示范围为1/2《M《。

负数时，最大值为1.100000.，最小值为1.1111111.尾数的表示范围为-（）《M《-1/2。

用补码的表示的尾数规格化：规格化的补码尾数，符号位与最高位数值位一定相反。正数时，最大值为0.1111...,最小值为0.100000.尾数的表示范围为1/2《M《。

负数时，最大值为1.0111111.，最小值为1.000000.尾数的表示范围为-《M《-1/2+。

超出最大负数和最小正数，当作机器0，超出最大正数和负数，抛出上溢异常。

IEEE754标准

尾数用原码表示，阶码用移码表示

移码=真值+偏置值

偏置值一般取2n-1，此时移码=补码符号位取反

阶码真值=移码-偏移量

尾数部分隐含最高位1

短浮点数真值为

长浮点数真值为

单精度最小绝对值位E=1,M=0,最大绝对值E=254，M=1.11111

双精度最小绝对值位E=1,M=0,最大绝对值E=2046，M=1.11111

当阶码E全为0时，尾数不全为0时，表示非规格化小数。+-（0.xxxxxx）隐含最高位变为0，阶码真值固定位-126

阶码E全为0，尾数M全为0时，表示真值+-0

阶码E全为1，尾数M全为0时，表示无穷大

阶码E全为1，尾数M不全为0时，表示非数值“NAN”

 

运算

加减运算的步骤为对阶、尾数求和、规格化、舍入和溢出判断

加减运算

对阶：小阶向大阶看齐

尾数相加

规格化：出现类似0.00114514*10，需要左规，阶数-1.出现类似99.114514，需要右规，阶数+1.

舍入：若规定只能保留几位有效尾数，则进行舍入。舍入规则有多种，如直接砍掉，砍掉部分非0，则入1，四舍五入等。

判断溢出：若规定阶码不能超过2位，则运算后阶码超出范围，则溢出。尾数溢出未必导致整体溢出。

强制类型转换

无损：char-int-long-double、float-double

有损：int-float（可能损失进度，float尾数的数值位有1+23位）、float-int（可能会溢出，也可能损失精度，比如小数转整数）

Int范围为-，float的范围为

算数逻辑单元

一位全加器

最基本的加法单元，输入两位加数和地位的进位（三个输入），输出和以及高位的进位（两个输出）

本位和S=Ai异或Bi异或Ci-1

本位向高位的进位Ci=AiBi+（Ai异或Bi）Ci-1

串行加法器

只设一个全加器的加法器，串行进位

一位全加器＋进位触发器，只能一位一位加

并行加法器

由若干个全加器构成，使用先行进位提高加法器的运算速度

计算速度取决于进位产生和传递的速度

串行进位的并行加法器，把n个全加器串接起来，就可进行两个n位数的相加。串行进位又称为行波进位，每一级进位直接依赖于前一级的进位，即进位信号是逐级形成的。

第i位向更高位的进位Ci可根据被加数，加数的第1-i位，再结合C0即可确认。

ALU

一种组合逻辑电路，能够进行多种算数运算和逻辑运算

基本逻辑运算：与和或

与：A·B

或：A+B

与非：

或非：

异或：A+B

非：