【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。 

第三章光学器件

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；热量的单位卡路里等于4.186焦耳；电荷的单位静库（1库伦=3×10⁹静库）；电势的单位静伏等于300伏特。另外这套老教材中力的单位常用公斤、克等，但如今是不允许的，力是不能使用质量单位的。】  

§3-8透镜成象的作图

【01】跟球面镜相似，透镜成象的各种情况，也可以通过作图的方法求出来。根据上面实验的结果知道，当物体离开透镜的距离固定时，从物体射出的光线，经过透镜折射以后，只能形成一个象。（除了物体放在透镜的焦点上，既不成实象也不成虚象的情况以外）也就是说，这时候从物体上每一点发出的光线，经过透镜的折射以后，也只相交于一点（或延长线相交于一点）。只要从物体上的一点引出任意两条光线，通过透镜以后，找出它们的交点，就可以确定这一点的象的位置了。当然，从物体上这一点射出的光线还很多，但是可以相信：它们经过透镜的折射以后，也一定相交于这一点，不然的话，物体上某一点所成的象同时有两点或好几点，那么一个物体所成的象也就同时有两个或两个以上相同性质的象了，这是和实际情况不相符合的。所以，在透镜成象的时侯，我们也只要在物体上选几个有代表性的点（如它的两个端点等），从这些点各引两条光线，经过透镜折射以后，得出它们相应的象点，这样把象点组合起来，就可以得出整个物体的象的大小和位置了。在作透镜成象的光路图时，要怎样才能确定折射光线的方向呢？如果要在光线通过透镜发生两次折射的时候，都用量角器去量入射角和折射角，根据折射定律来决定折射光线的方向，那就太麻烦了，而且也不容易作得精确。所以在实际作图的时候，为了简便起见，我们常常从下列三条光线中任意选择两条来作图，这三条光线是从前面学过的透镜性质得出来的，它们是：

【02】(1)跟主轴平行的入射光线。它通过凸透镜后，折射光线通过焦点；通过凹透镜后，折射光线的延长线通过焦点。

【03】(2)通过焦点的（或延长线通过焦点的）入射光线.它经过透镜折射以后，折射光线跟主轴平行。

【04】(3)通过透镜光心的入射光线.它经过两次折射以后方向保持不变。

【05】我们先来讨论一个发光点经过透镜成象的光路图。

【06】图3·47是一个发光点 A 经过凸透镜成象的光路图作法：从 A 点引一条光线平行于主轴，折射以后，通过焦点 F，再从 A 点引一条光线通过焦点，折射以后，跟主轴平行，这两条折射光线相交于 A' 点，A' 就是 A 点的实象。在图3·47(a)中，画出了光线两次通过透镜的折射面时所发生的偏折，但是对确定象的位置讲，这并不是必要的，所以也可以简化如图3·47(b)和(c)的画法。一般用通过光心并垂直于主轴的直线来表示薄透镜，这样更为简便。凸透镜和凹透镜的表示法分别如图3·48所示，这种表示透镜的符号，形象地表示了透镜边缘的特征，所以也是比较容易识别的。

【07】如果发光点在透镜的主轴上，则成象时光路图的作法就有些特殊，因为这时候从主轴上的发光点所作的平行于主轴的光线、通过焦点的光线和通过光心的光线是和主轴重合在一起的，单是这一条线显然得不出象点的位置，于是就要利用焦平面来辅助。图3·49所示的是凸透镜主轴上的发光点 A 成象的作图法：从 A 点引任意一条入射光线 AB，再过光心 O 作副轴 CO 平行于 AB，并延长 CO 跟焦平面相交于 D 点，连结 BD，使它的延长线跟主轴相交，则交点 A' 就是 A 点的实象。因为 AB 是平行于副轴的入射光线，折射以后，应当跟副轴相交于焦平面上，所以折射光线通过交点 D；从 A 点引的另一条入射光线就是 AO，它沿着主轴方向，所以折射以后方向不变，这两条折射光线相交于 A 点，所以 A' 点就是 A 点的实象。

【08】如果发光点 A 在凸透镜的焦点以内，作图的步骤仍和上面一样，只是这时两条折射光线并不相交，它们的延长线相交于 A' 点，A' 点和 A 点在凸透镜的同一侧，是 A 点的虚象（如图3·50）。

【09】如果发光点 A 是在凹透镜的主轴上，如图3·51所示。先从 A 点引任意光线 AB，过光心 O 作副轴 CO 跟 AB 平行，CO 跟焦平面相交于 D 点，连接 BD 跟主轴相交于 A' 点，A' 点就是 A 点的虚象。因为 AB 是平行于副轴 CO 的入射光线，经过凹透镜折射以后，它的延长线应当跟副轴相交在焦平面上，所以折射光线的延长线将通过交点 D；从 A 点引的另一条入射光线就是 AO，沿着主轴方向射到凹透镜上，折射以后方向不改变，这两条折射光线在透镜的另一侧不相交，但它们的延长线相交于同侧的 A' 点，所以 A' 点是 A 点的虚象。

【10】接下来，我们来讨论一个物体通过透镜成象的光路图。

【11】一个物体可以看成是许多点的组合，每一点射出的光线，经过透镜的折射以后，按照上面所述的作图法，可得出这一点象的位置。这些象点一一组合起来，就构成了整个物体的象；跟球面镜成象作图的情况一样，为简便起见，我们只要选取物体上的两个端点，作出它们成象的光路图来，就能够确定物体的象的性质、位置和大小。下面是物体放置在不同的位置上时成象的光路图。

【12】(1)物体 AB 放在凸透镜的两倍焦距以外（图3·52）。

【13】从端点 A 引两条入射光线，一条平行于主轴，折射以后通过焦点 F，另一条通过光心，折射以后方向不变，它们在透镜的另一侧相交于 A' 点，这一点就是 A 点的实象。同样，从另一端点 B 也引两条入射光线，一条平行于主轴，另一条通过光心，它们经过凸透镜折射以后，相交于 B' 点，B' 点就是 B 点的实象。可以理解：在 AB 之间的其他各点的象，也都相应地落在象点 A' 和 B' 之间，所以连接 A'B' 也就是 AB 的实象。从图3·52中可以看出：物体在凸透镜的两倍焦距以外，成的象在透镜的另一侧，落在焦点以外、两倍焦距以内的地方，象是倒立、缩小的实象。也就是：u > 2f，f < v < 2f  。

【14】(2)物体 AB 放在凸透镜的两倍焦距的地方（图3·53）。

【15】从物体的端点 A 点和 B 点，各引两条入射光线，一条平行于主轴，另一条通过透镜的光心，折射以后，它们在透镜的另一侧分别相交于 A' 点和 B' 点，这就是 A 点和 B 点的象，A'B' 就是物体 AB 的象，从图中可以看出：当物体放在凸透镜的两倍焦距上的时候，象成在透镜另一侧两倍焦距的地方；并且是跟物体大小相等的倒立的实象。也就是：u＝2f，v＝2f  。

【16】(3)物体 AB 放在凸透镜的焦点以外、两倍焦距以内的地方（图3·54）。

【17】作图的方法同上。可以看出，当物体放在凸透镜的焦点以外、两倍焦距以内的时侯，成的象在透镜的另一侧两倍焦距以外；象是倒立的放大的实象。也就是：f < u < 2f，v >2 f  。

【18】(4)物体 AB 放在凸透镜的焦点上（图3·55）。

【19】从物体的A点和B点分别引两条光线，经过透镜的折射以后，互相平行，所以这时候，既不形成实象，也不形成虚象。

【20】(5)物体 AB 放在凸透镜的焦点以内（图3·56）。

【21】从物体的端点 A 引一条入射光线平行于主轴，折射以后通过透镜的焦点 F，另一条入射光线通过光心 O，折射以后方向不变，这两条折射光线在透镜的另一侧不相交，而它们的反向延长线相交于 A' 点，这一点就是 A 点的虚象；同样的方法可以作出 B 点的虚象 B'，A'B' 就是物体 AB 的虚象。从图3·56中可以看出：当物体放在凸透镜的焦点以内的时候，成的象跟物体在透镜的同一侧，象是正立、放大的虚象。

【22】(6)物体 AB 放在凹透镜前任意地方（图3·57）。

【23】从 A 点引一条入射光线平行于主轴，折射以后，它的反向延长线经过凹透镜的焦点 F，从 A 点引另二条入射光线通过光心 O，折射以后方向不改变，这两条折射光线在透镜的另一侧不相交，它们的反向延长线相交于 A' 点，这一点就是 A 点的虚象；同样，B' 点就是 B 点的虚象，连接 A'B' 就是物体 AB 的虚象。从图3·57中可以看出：物体经凹透镜所成的象跟物体在透镜的同一侧，象是正立、缩小的虚象。

【24】上面几种不同情况的光路图表明：从物体射出的光线，经过透镜的折射以后，实际相交而成的象是实象，实象跟物体分居在透镜的两侧，凸透镜能够形成实象。从物体射出的光线，经过透镜的折射以后，它们的反向延长线相交而成的象是虚象，虚象跟物体在透镜的同一侧，凸透镜和凹透镜都能形成虚象。

【25】这里所得出的结果，跟§3-7透镜成象的实验中所得到的结果是符合的。

例4.如图3·58所示，A 是一个发光点，A' 是由透镜所形成的 A 点的象，横线是透镜的主轴。试判断这个透镜是凸透镜还是凹透镜？并且用作图法求出透镜的光心和焦点的位置。

【解】

        可以把 A 点看成是直立在主轴上的某一物体的端点，那么，A' 点也就是这一物体的象的端点，从 A 和 A' 分别作主轴的垂线，就可以看出：象是倒立的和放大的，根据透镜成象的性质可以判断这个象是实象，这个透镜是凸透镜。（实象是倒立的，虚象总是正立的，只有凸透镜能形成实象，四透镜只能形成虚象）

        根据凸透镜成象的性质，从物体射出的光线，通过光心的时候，方向不变，所以连接 A 点和 A' 点的直线跟主轴的交点，就是凸透镜的光心 O；通过 O 点作主轴的垂线，也就是凸透镜的位置，因为平行于主轴的光线，经过凸透镜的折射以后，一定通过焦点 F，所以可以这样来求出焦点的位置：过 A 点作 AD 平行于主轴，再连接 DA'，它跟主轴相交于 F 点，这一点就是凸透镜的焦点（如图3·59所示）。

习题3-8

1、有一个凸透镜焦距是 20 厘米，一束平行光线沿着跟主轴成 30° 角的方向射到凸透镜上，用作图法作出光路图，并计算平行光束经过折射以后的会聚点离开光心的距离，以及离开主轴上焦点的距离。【23.1厘米，11.5厘米】

2、凸透镜的焦距是 20 厘米，有一个物体放在离开透镜 15 厘米远的地方，试作它成象的光路图。如果把凸透镜换成一个凹透镜，焦距相同，物体离开透镜的距离也不变，再作出这时侯成象的光路图，并比较这两种镜所成的象有什么不同。

3、凸透镜的焦距是 10 厘米，有二个物体放在离开透镜 20 厘米的地方，作出成象的光路图。如果把凸透镜换成一个焦距相同的凹面镜，物距 u 保持不变，再作出这时候成象的光路图。试比较这两种镜所成的象有什么不同。

4、附图中 A 是一个发光点，A' 是由透镜所成的 A 点的象，横线是透镜的主轴。试判断这个透镜是凸透镜还是凹透镜？并通过作图求出透镜的光心和焦点的位置。