【数学基础57】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

2. 双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；

3. 性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

4. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

5. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

6. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；

7. （axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）.
   

8. 矩阵乘法运算律——
   

   a.结合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

   e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

9. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

10. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

11. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

12. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

13. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

14. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。

15. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反/斜对称矩阵。

16. 定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。

17. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

18. 定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。

参考资料：

1. 《数学分析》（华东师范大学数学系 编）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数题解精粹》（钱吉林 编著）

数学分析——

例题（来自《数学分析（华东师范大学数学系 编）》）——

求下述极限：lim[2^（1/2）*2^（1/4）*2^（1/8）*……*2^（1/2^n）].

解：

1. 2^（1/2）*2^（1/4）*2^（1/8）*……*2^（1/2^n）

   =2^（1/2+1/4+1/8*……*1/2^n）

   =2^{（1/2）[（1-1/2^n）/（1-1/2）]}

   =2^（1-1/2^n）；

2. lim[2^（1/2）*2^（1/4）*2^（1/8）*……*2^（1/2^n）]

   =lim 2^（1-1/2^n）

   =2^1=2.

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编著）》）——

对于任意a，b，c，d，证明（b，c，d）a-（c，d，a）b+（d，a，b）c--（a，b，c）d=0.

证：

1. （b，c，d）a-（c，d，a）b+（d，a，b）c--（a，b，c）d

   =（（bxc）d）a-（（cxd）a）b+（（dxa）b）c--（（axb）c）d

   =（（bxc）a）d-（（cxd）a）b+（（dxa）c）b-（（axb）c）d

   =（b，c，a）d-（c，d，a）b+（d，a，c）b-（a，b，c）d

   =（a，b，c）d-（c，d，a）b+（c，d，a）b-（a，b，c）d

   =0，证毕。

高等代数——

例题（来自《高等代数题解精粹（钱吉林 编著）》）——

设A是n阶方阵，A+E可逆，且f（A）=（E-A）（E+A）^（-1），试证明：[E+f（A）][E+A]=2E.

证：

1. [E+f（A）][E+A]

   =[E+（E-A）（E+A）^（-1）][E+A]

   =[E+A]+[E-A]

   =2E，证毕。

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