601深夜研讨会-m-1

先在前面写点废话，这大概是一个新的专栏，会记录点经过我们寝室讨论的觉得有意思的数学题，本来说是让另外的一个室友TYC发他的知乎专栏里面去，结果这人一直没抽出空，再加上不知道为啥B站大发良心，给专栏增添了支持代码输入和LaTeX输入的模块，所以我就把这活给接过来了，这个专栏的第一篇是一个有定论了的实变问题，之后的第二篇和第三篇大概率都是一个点拓问题，不过得等到我们彻底搞懂再说。

目前看来，这个601深夜研讨会的常客会有四位：ABA，TYC，SPF和LWX(不过经常网不好不在线就是了)，然后之后一些我们没讨论出题目的题目我们应该也会去多找点特邀嘉宾来做客601深夜研讨会。然后这学期主要讨论的问题会集中在点集拓扑和实变函数。

好了速度正题。

题目：

设是中的非空开集，问是否成立？

然后我们干脆直接快速的给出一个正确的答案：

不成立，考虑如下反例

记，

自然有

且，与题意不符

但是之所以要拿出来讲这个题，那必然是有值得一提的东西。

首先我们要来看一个错误的做法：

成立，证明如下：

首先：

其次：

对上的开集必有，其中，是两两不交的开区间

而自然由的形式可知：

且有：，其中，

显然，是可数集，因此是零测集，即

所以

综合两个式可知：

既然是研讨会，那干巴巴的把题讲了就没什么意思了，所以后面我来讲讲我们当时的研讨会的情况。

TYC是坚定的第二种做法党派，SPF是坚定的第一种做法党派，而ABA(也就是我了)是作业上写着第二种做法但是觉得第一种好像也很有道理的摇摆派，而我们争论的焦点在于，对于第一种做法里面构造出的是否是存在的，我当时的想法是这个集合既然是从形式上进行的构造，那么按逻辑上来说确实是一个符合题意的开集。但是TYC觉得正是因为这个是在测度上存在奇怪的矛盾，所以这样的是不存在的，并且提出来一个比较关键的问题：是否就是。

显然的，，因此，是否存在一个无理数，使得，就成了我们需要讨论的两个重点之一，而另外一个重点则自然是第一种做法的可能存在错误在哪里？

TYC认为不存在这样的，是基于实数的稠密性的考虑，在这里，任意一个无理数都存在一个距离“无限小”的有理数，因此任意无理数一定会存在于某一个。但事实上，上述考虑是存在一定的逻辑问题，因为同样是个区间长度会趋近于0的集列，因此两个“无限小”不能进行逻辑上的比较。

为了更加直观的举出例子，我考虑了这样一个例子：，并从此开始反向构造。

，，，

同时将原构造中的更改为

如此构造之后，不难发现

那么在解决了这个问题之后，我们就需要去找出第一种做法种存在的漏洞，事实上，第一种做法并不如我现在所展示的这般简洁，存在着一些绕弯路的地方，因此这为我们找出漏洞增添了许多痛苦，不过所幸最终倒也是找到了。我和TYC对的闭包存在严重的问题，的闭包事实上是不能被表示为，更进一步，甚至并不一定表示了一个闭集。

至此讨论也算是圆满收工。现在看来也并不算个很困难的问题，只是进入了某些死胡同罢了，不过下两篇有关点集拓扑的问题到是的的确确可以说得上是有一定困难了，到时候再说吧。