梅涅劳斯定理

梅涅劳斯(Menelaus)，有翻译为门纳劳斯的，是公元一世纪，古希腊亚历山大后期的数学家，天文学家，球面三角术的创始人之一。他写过六本关于圆中的弦的书，可惜都失传了，现存的著作只有《球面论(Spherics)》以阿拉伯文本保存了下来。该著作一共有三册，第一册讨论球面集合，第二册以天文为主题，第三册是球面三角术。其中第三册的第一个命题，即为梅涅劳斯球面三角形定理。该定理由于涉及六个量，因此，在中世纪，又称为“六量律(regula sex quantitatum)”。

今天我们称为梅涅劳斯定理，即为该命题的平面情况，梅涅劳斯并没有证明平面情况，直接是将之当做已知的定理，用来证明梅涅劳斯球面三角形定理。

现在的梅涅劳斯定理，对于现在的竞赛生来说，应该相当熟悉，一般而言使用该定理判定三点共线。

梅涅劳斯定理

设分别是的三边或延长线上的三点，若三点共线，则

证明

过作直线交的延长线于,则

因此

证明还是比较简单的。

接下来，我们介绍一下梅涅劳斯球面三角形定理，这里采用的证明方法，就是梅涅劳斯《球面论》上的证明。以下证明过程是完整地参照Rani Hermiz的《English Translation of the Sphaerica of Menelaus》，这个英文翻译，没有附加图像，也没有数学公式，只是纯粹的英文文字说明。看得让人头大，我就将之翻译了一下，并且将图也加上去了。注意在《球面论》原书没有使用正弦，而是使用希帕霍斯发明的弦函数(chord)，即圆心角所对应的弦长，这个和现在的正弦函数有如下关系。

为了方便理解，我们将使用弦函数的地方等价用正弦函数替代。

梅涅劳斯球面三角形定理

假设两个弧和在点相交，我们从点和绘制两个弧和，它们在点相交，这四个弧都来自球面上大圆的周长，每个弧都小于半周长。那么我说，弧的正弦与弧的正弦的比值等于弧的正弦与弧的正弦的比值与弧的正弦与弧的正弦的比值的乘积。

证明

设为球的中心，我们画出线段、和，并连接和。

那么弦和半径在同一平面内，

因此要么与平行，要么不平行。

如果不平行，则它们在两侧的其中一侧相交。

如果它们在的一侧相交，那么让它们在点相交，

我们画出弦，它与半直径相交，交点为，

我们画出弦，它与半直径相交，交点为。

由于所有的线、和都从的中心点引出到其周长，

因此它们都在同一个平面内，点、和在这个平面内。

在两侧和的平面内，

这个平面是直接从其中取出的，以使点在该平面内。

因此，点、和在两个平面中，即的平面和的平面中，

因此它们在相交平面的公共部分上，这是一条直线。

因此，线段和夹在和之间，在点相交，

因此与的比等于与的比与与的比的乘积。

与的比值与弧的正弦与弧的正弦的比值相同，

与的比值与弧的正弦与弧的正弦的比值相同，

与的比值与弧的正弦与弧的正弦的比值相同，

因此，弧的正弦与弧的正弦的比值等于弧的正弦与弧的正弦的比值与弧的正弦与弧的正弦的比值的乘积。

对于其他情况，梅涅劳斯在《球面论》上做了详细的证明，这里就不详细说明了。感兴趣的朋友可以自己证明一下。

对于梅涅劳斯《球面论》，还有一个命题比较著名，就是《球面论》第三册的第五命题，这个命题严格来说梅涅劳斯并没有给出严格的证明，只是给出了一个证明框架。这导致了后世的数学家们在严格证明该命题的同时，完善了球面三角学。梅涅劳斯在这个第五命题的证明框架中，使用了一条未经证明的引理，该引理类似截线的交比不变性，用圆弧所对角的正弦比值来表示。