【零基础学经济Ep37】查漏补缺——数学基础（四：同济常微部分）+经济学概念日常梳理
继续聊《高数》上的常微分方程部分+高鸿业的“弹性”部分+曼昆经济学第三条原理。
学习开始！
part 1 同济《高等数学》常微分方程部分
我们聊过最简单也最特别的微分方程的解法，今天继续介绍微分方程的解法，在此之前我们先复习一下之前学过的知识——
微分方程的基本概念——
微分方程——含有一个函数不同阶导数构成的方程，就是微分方程。
常微分方程——一元函数构成的微分方程。
偏微分方程——多元函数关于其中一个自变量的微分方程。
全微分方程——等式左端是一个多元函数的全微分，右端是零的形式——又叫做恰当方程，一般是《常微》教材介绍的第一种类型的常微分方程。
微分方程的解——一个满足等式的函数。
我们之前介绍了三种方法对应两种类型的微分方程——
直接法——不定积分那一章的所有题目——直接可以用不定积分解决的常微分方程的形式，不过这种类型的题目，把不定积分那一章学好就可以了，一般常微分方程教材不会作多赘述；
分离变量的方法——变量可分离的方程——顾名思义，就是说，我们可以把所有的含x或者dx的项移到等式一边，把所有y和dy移到另外一边，而且这里面，dx和dy的关系一定是相除的关系dx/dy，dx和含x的式子，dy和含y的式子一定是相乘的形式，然后一起积分就好。
变量替换法——齐次方程——令y=ux，u=y/x，是一个关于x的函数。
今天我们继续介绍可以使用变量替换法的另一种类型的方程。
我们知道，直接满足齐次方程的条件的方程是极少一部分；但是有些形式的方程，我们可以通过变量的变换，转化为齐次方程或者可分离变量的方程，就可以继续用变量替换法或者分离变量法了，这种类型的方程，我们称之为——可化为齐次/可分离变量的方程。
这一部分的思路和不定积分中将某些本身不是有理函数的函数通过变量替换化为有理函数求积分的思路大同小异。
可化为齐次方程/可分离变量的方程
定理——形如dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）的微分方方程在c=c1=0时为齐次方程，当c和c1至少有一个不为0时，可以做相关变换，使其转化为齐次方程，令——
x=X+h，则dx=dX；
y=Y+k，则dy=dY；
1、2中h和k是待定的常数，所以我们要列方程组，解出它们，这部分内容，涉及到了《线性代数》里的克莱姆法则。——我们由这个方程组解的有无，来判定，这种类型的微分方程，转化的方式。
过程——
ax+by+c=a（X+h）+b（Y+k）+c=aX+bY+ah+bk+c，a1x+b1y+c=a1（X+h）+b1（Y+k）+c=a1X+b1Y+a1h+b1k+c；
dY/dX=（aX+bY+ah+bk+c）/（a1X+b1Y+a1h+b1k+c）；
因为2中方程应该满足齐次方程的形式，故而得到方程组ah+bk+c=0且a1h+b1k+c=0；
由克莱姆法则，当行列式ab1-a1b不等于0的时候，方程组有解，我们解出对应的k与h，将原方程转化为dY/dX=（aX+bY）/（a1X+b1Y）即可；
由克莱姆法则，当行列式ab1-a1b=0的时候，则a1/a=b1/b=l，将l代入原方程，得到dy/dx=（ax+by+c）/[l（ax+by）+c1]；
我们令v=ax+by，则dy/dx=（v+c）/（lv+c1）；
又可得dv/dx=a+b（dy/dx），即dy/dx=（dv/dx-a）/b——y是关于x的函数；
则dy/dx=（dv/dx-a）/b=（v+c）/（lv+c1），即dv/[（bv+bc）/（lv+c1）+a]=dx，转化为一个可分离变量的微分方程。
part 2.1 经济学概念——高鸿业
高鸿业《西方经济学》第二章第五节：弹性——
稍微开个头第五节引入弹性的概念——
弹性——一般来说，只要两个经济变量之间存在函数关系，我们就可用弹性来表示因变量对自变量变化的反应敏感程度。
弹性一般公式——弹性系数=因变量的变动比例/自变量的变动比例。
弹性公式——e=（ΔY/ΔX）（X/Y）——e：弹性系数，ΔX、ΔY变量X、Y的变动值。
弧弹性公式——ΔX趋于0时，e=lim （ΔY/ΔX）（X/Y）=（dY/dX）（X/Y）——极限值。
需求的价格弹性含义——表示在一定时期内一种商品的需求量变动对于该商品的价格变动的反应程度；或者说，它表示在一定时期内一种商品的价格变化百分之一时所引起的该商品的需求量变化的百分比。
需求的价格弹性公式——需求的价格弹性系数=需求量变动率/价格变动率。
需求的价格弹性分类——
A.弧弹性——需求的价格弧弹性表示某商品需求曲线上两点之间的需求量的变动对于价格的变动的反应程度；简单地说，它表示需求曲线上两点之间的弹性。
弧弹性公式——ed=-（ΔQ/Q）/（ΔP/P）=-（ΔQ/ΔP）*（P/Q）——需求函数Q=f（P），ΔQ与ΔP分别表示需求量的变动量和价格的变动量，ed表示需求的价格弹性系数——通常情况下，商品的需求量和价格是呈反方向变动的，即为ΔQ/ΔP负值，所以公式加了个负号，使价格弹性系数ed取正值。
B.点弹性——当需求曲线上两点之间的变化量趋于无穷小时，需求的价格弹性要用点弹性来表示；也就是说，它表示需求曲线上某一点的需求量变动对于价格变动的反应程度。
点弹性公式——ΔP趋于0时，ed=lim[-（ΔQ/Q）/（ΔP/P）]=-（dQ/dP）*（P/Q）。
C.弧弹性和点弹性的关系——本质上是相同的；区别仅在于：前者表示需求曲线上两点之间价格变动时的弹性，后者表示需求曲线的某一点上价格变动量无穷小时的弹性。
part 2.2 经济学概念——曼昆
我们来逐一介绍曼昆《经济学原理》上的原理，曼昆的经济学的十条原理第二条：
rational ppl think at the margin.理性的人考虑边际——
引出概念：marginal changes边际变化——对一个计划的微小改变；
理性的人做决定时会考虑——marginal benefits边际效用和marginal cost边际成本；
如何看待一个问题取决于那个时候具体的情境——
例子一——一个有200个座位的航班成本为100 000，那么平均每个位子的成本是500元，似乎在任何情况下，定价都不应该小于500元，考虑具体情况，这个航班起飞时有十个空位子，那么这个时候有乘客想要以300元的价格上飞机应不应该允许呢？答案是肯定的，因为比起500元的损失，定价300元的损失要小得多；
例子二——为什么不喝水人会死但是水很便宜，钻石没什么用但是钻石很贵呢？因为水的总量是很多的，多拥有一杯水的边际效用，即多获得的好处是很少的，因为大家都拥有许多水，但是钻石是很稀少的，所以人们获得钻石的边际效用是很大的，因为往往大多数人都没有钻石；
上面两个例子都是一般状态，现实中往往是有特例的，理解作者在表达什么即可。
明天继续！
