稳恒电流2

2020-03-26 18:27 作者:露保协 0人读过 | 我要投稿

首先回顾一下稳恒电流的理论体系。本质上还是要求解一个Maxwell方程，只不过现在是在一个特殊条件下求解。特定性条件加起来是这三个：

稳恒条件；
非静电力K；
碰撞假设与统计假设。

Maxwell方程加上这三条条件，最终可以把偏微分方程转化为代数方程（Kirchhoff方程），使问题得以解决。

而且要注意的是，虽然平时说的电路是传统上导线、电阻各种接起来的那种，但是这种从Maxwell方程（和Lorentz）+特定性假设的方法还可以用于研究广义的“电路”，比如导线是一个克莱因瓶，根本没有导线，电流密度不均匀之类的奇奇怪怪的情况。这种时候再说Ohm定律就没有意义了，但是Maxwell方程+特定性假设仍然可以推。

这一小节仔细重新推导一下稳恒电流的理论框架。

首先，根据稳恒条件，写出Maxwell方程

第一条当然还是普通的Gauss定律。

第二条说明E是一个梯度场，即电势存在（不过不能叫静电势了）：

3、4两条。在直流电路中我们不太关心磁场的问题，更关心电流j，所以对于第四条取一个散度得到

这也叫电流的稳恒条件，说的就是电流一定是环状的，不能从一个点跑出去或跑进去。

然后我们看看电荷在这个空间里面是怎么运动的。空间中除了Lorentz力还存在两种力：非静电力K和原子实的阻碍。Lorentz力变为：

K通常局限在一定范围的空间内（也就是我们所说的电源），但也可以弥散在整个空间内（整个电路都带着电动势），这都无所谓。电子在这个力下加速运动，但同时一直撞击原子实。根据碰撞的统计假设，这个碰撞过程用Poisson点过程刻画，于是它在scaling limit下弱收敛到一个匀速运动：（微观Ohm定律）

条件全部用完，接下来应该就能推导出所有东西。

【1】电阻，以及两点之间的电位差。首先我们知道Laplace方程（见【4】）。Ohm定律说的其实就是，

是一个只依赖于导体形状、S_1、S_2以及导体材料的量，与U_1和U_2无关。这个证明其实只需要唯一性定理，如果把U_1-U_2翻倍，假如把\Phi也翻倍，发现它仍然满足Laplace方程以及边界条件。所以它就是唯一解，此时分子分母都翻倍，比例不变。所以这个物理量是well-defined的。也就是说我们定义

我们可以看到，电阻是一个和电容类似的物理量。定义都来源于唯一性定理。电阻并不是像初中那样直观trivial存在的物理量，它是不trivial的。

这样我们就看到，欧姆定律U=IR本质上就是Laplace方程解的唯一性。

关于电阻的计算。和电容一样，一般得求解Laplace方程才能知道电阻。对于柱形的导体，Laplace方程非常好解，可以算出

这就是我们平时用的电阻公式。它对于非柱形的导体就不适用了。

最后要提的一点是，

这个定义针对的是没有K的导体。如果有K，应该定义为

这是为了排除K的影响。一旦知道电流分布，就知道了电阻。电阻就是刻画电流分布的量，跟有没有加上K无关。

【2】Kirchhoff方程，即代数化的Maxwell方程。Kirchhoff第一方程就是电流稳恒条件的积分形式：

也就是说每个曲面进出的电流总和为0。特别地，对于每个节点，进出的电流总和为0。

Kirchhoff第二方程则来自于Maxwell2（即梯度场）的积分形式：

左边给出各个IR的和（因为R的定义），右边给出总的电动势。于是就变成Kirchhoff第二方程。

【3】电功率。也就是电磁场能转化为内能的功率。电子本应该加速，但因为碰撞耗散了电磁场能，在统计上变成匀速运动，电磁场能全部转化为内能。

这个式子总是成立的。当然，如果电磁场能有转化为其它能量，则UI是总的输出功率，未必全部变成内能。

【4】电荷分布、电流分布与电场分布。在没有电动势，而且介质均匀的地方，

也就是说这些地方没有净电荷，正负恰好抵消，只有电流。所以净电荷能够集中的地方只有电源、导体表面以及导体的不均匀处。

电流和电场是正比的，所以只需要知道电场分布。在导体内部，没有净电荷，电势满足Laplace方程：

那么边界条件是什么呢？我们知道边界条件得用积分形式去找。在导体边界画一个Gauss面，根据

知道：

在非电流输入区域，电流（以及电场）是边界的切向；
在电流输入区域，可以有法向的电流（电场），法向电流是连续的。

再根据Gauss定律得到：

1.在非电流输入区域，电荷密度为

2.在电流输入区域，如果连接材料相等，则没有电荷积累。

反映到Laplace方程上是什么边界条件？

1.在电流输入和输出区域，电势固定：

2.在其它区域，电势在法向不变：

这样在数学上就完成了formulation，电场/电流分布就能解出来了（混合边界条件的Laplace方程）。

特别地，对于柱形的导体，电势就是一个线性的场，电流是均匀分布的。这是我们熟知的关于DC电路的结论。

还有一点就是，此时导体不是一个等势体了。这是当然，别想糊涂了，觉得导体一定是等势体。

前面看到电阻是一个非平凡的量。我们现在尝试算一个非平凡的电阻。假想一个圆柱，高为d，半径为R。在柱坐标下，0-\alpha部分控制电位为0，\pi-\pi+\alpha部分控制为U。求它的电阻。

列出Laplace方程，分离变量。具体过程不写了。求出本征函数：

其中I和K分别为第一类和第二类修正Bessel函数。每一对本征值对应四重简并的本征函数。

注意到第二类修正Bessel函数在0是发散的，所以可以忽略掉。第一类修正Bessel函数是指数增长型的。最后代入R的边界条件，解出系数，就可以知道Laplace方程的解。

如果想方便点，可以直接用Mathematica找数值解。代码如下：

画出电势为：

其实挺接近平面的，也就是说大致上可以看成一个柱形的导体。电流就沿着这个梯度往下走。电流可以这样画出：（InterpolatingFunction可以按照一般函数来玩）

结果为：

这就是电流线。和我们想象的完全一样。可以看出一切还是基于Maxwell方程。

单单是这样一个简单的系统已经没有初等函数表达的电阻了。对于更加复杂的形状更不用说。如果有人问，R=\rho l/S能不能推广到一般形状的电阻，那基本是没有希望的。

这一节讨论一下如何不求解Laplace方程定性画出导体中的电流分布。完整的刻画就是这三点：

在没有电流流入/流出的表面，电流为表面的切向。
电流满足Gauss定律。
电流满足环路定律。

根据Laplace方程的唯一性定理，只要这三点满足，那么这个电流场就是唯一的电流场。而根据这三点，可以定性画出电流分布。

前面说了，电阻的严格定义是（在材料均匀的时候，是纯几何量）

电阻刻画的到底是什么？顾名思义，是“对电流的阻碍”，这个阻碍来源于原子实对电子的散射。分子刻画的就是电能的耗散，而分母则用来scaling。（这样就可以理解为什么这样定义电阻）

Remark: 这个定义其实就是d/(\sigma S)的推广。对于柱形导体，j都是恒等的，直接消掉就行。

如果改变边界条件，电势是成倍数地变化的（唯一性定理），所以j也是成倍数变化的。也就是说， 电流分布在忽略倍数的意义下是唯一的。所以我们只要画出一个电流分布图，就刻画了所有情况下的电流分布。所以我们只需要画出“单位电流分布”。

比如说画出这三个导体，可以通过定义（红线上积分）明显看出第二个电阻小，第三个电阻大。

在仔细分析一下焦耳定律到底是怎么回事。

假设电流通过导体，电子除了受到原子实的散射之外，还对外做功:

这个K不一定是电动势了，总之可以想象成一个机械力（保守的，假设势场为U），比如说电动机。这样场能转化为内能和机械能。分别转化了多少？

我们知道总的输出能量（功率）肯定是UI，不用说。而算一下

所以结论就是：

I^2R是热耗散
UI是总的输出功率
对于纯电阻，上面二者相等。对于非纯电阻，总的输出功率可能会大于热耗散。

这是我们高中时熟知的结论，现在可以严格证明了。

赵凯华，陈熙谋的《电磁学》上有这样一个式子：

这是大错特错的。下面我们来论证错在哪里。假设\rho是均匀的，只考虑S不均匀。

在知乎上有这么一个问题：

接触点是一个点的时候当然是无穷大。考虑接触点有一个小张角，怎么算电阻？

曾经某个蜜汁优越的电工大v是按照微元法分成一层一层积分计算的，还拿了高赞，虽然现在没了。其实也就是上面3.11那个式子。问题就在于，分层的时候，每个分界面上不是等电位的。如果你按照串联来算，分层之前的电流分布和分层之后的电流分布完全不同（想想边界条件）。除非你按照等势面来做微元法，然而划分出来的曲面根本算不了。

电流分布错了，算出来的