【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep52】第三波习题进行中

我们先复习一下实数完备性第二个定理的内容：单调有界数列必有极限。

我们把这个定理换一种更好应用的方式表述——单增有上界数列必有极限，单减有下界数列必有极限。

而这个定理常常会用到的地方——

1. 典型能看出来单调的数列，比如我们学到后面的正项级数收敛的判定法中，就有这条定理的应用；

2. 考试的时候，如果遇到“证明XXX迭代数列是收敛的”优先考虑能不能用这个定理——迭代数列是拿一个数列的前若干项表示an的方式，比如最简单的迭代数列a1=1，an=an-1+1就是首项为1，公差为1的等差数列。

这个定理的用法也很简单——

1. 判断迭代数列是否单调？——是，进第2步，否，考虑其他办法；

2. 判断迭代数列是否有界？——是，进第3步，否，则数列发散；

3. 由1、2可知数列是有极限a的，那么我们令n趋向于无穷大，就可以得到一个关于极限a的方程，解出方程即可得到极限a。

下面继续看例题——

35例题

3.经典题：迭代数列，xn+1=xn（2-xn）的极限（0<x0<1）——

依然是一道各大教材都会讲到的一道经典题，先是分析步骤——

1. xn+1=xn（2-xn）=2xn-xn^2=-（xn-1）^2+1<=1，有上界；

2. 我们照例写出前若干项，已知0<x0<1——

   x1=x0（2-x0）>0，0<x1<1；……

已经可以看出来这个数列是一个有界数列，下界为0，上界为1，我们用归纳法证明——

1. 已知0<x0<1，0<x1<1；

2. 假设0<xn<1，则0<xn（2-xn）<1，即0<xn+1<1；

3. 证毕，该数列为有界数列。

再研究其单调性——

1. 作差：xn+1-xn=xn（2-xn）-xn=2xn-xn^2-xn=xn-xn^2=xn（1-xn）；

2. 显然，当0<xn<1时该数列单增，当xn<0或xn>1时数列单减；

3. 我们由有界性已知0<xn<1，这个数列是一个单增数列。

单增有界数列必有极限x——

1. 我们令迭代公式两侧n同时趋向于无穷，lim xn+1=lim xn（2-xn）；

2. 即x=x（2-x）；

3. 解出x=0或x=1；

4. 因为0<xn<1且该数列单增，则0<x0<xn<=x<=1，所以x=1即为该数列极限。

接着书上对这道题结论的应用做出来一点说明——

用计算机求1/c的方法，这道例题史济怀老师《数学分析教程》上花了一小节的篇幅来讲——

1. xn=cyn；

2. xn+1=xn（2-xn），则cyn+1=cyn（2-cyn），即yn+1=yn（2-cyn）；

3. 0<y0<1/c；

4. 同理可证得 lim yn=1/c。

   ——即使一种近似的求1/c的方法，n越大，精确度越高。

后天继续！