Unit12 微分方程
【导图】
一、基本概念
Ⅰ定义
Ⅱ分类1.线性2.n阶非线性3.一般式
Ⅲ通解，特解与初值问题
Ⅳ齐次方程
二、基础法
Ⅰ变量分离与齐次方程
Ⅱ逻辑斯蒂方程
三、一阶线性微分方程
Ⅰ一阶线性微分方程
1定义（1）（非）齐次以及对应（2）齐次的解
2常数变易法以及非齐次特解
3初值（x0，y0）
Ⅱ伯努利方程的定义及转化
四、高阶微分方程
Ⅰ可降阶 1 y（n）导=f（x） 2 y’’=f（x，y’）3 y’’=f（y，y’）
Ⅱ高阶线性微分方程
1二阶齐次：一般式，解的叠加，线性关系
2二阶非齐次：定义及定理
3特解的叠加
4建立齐次与非齐次的联系
（1）y1=x+2e*x，y2=x+e*x，y3=x+1
Ⅲ二阶常项齐次
Ⅳ二阶常项非齐次
五、全微分方程定义及通解
【正文】
一、基本概念
1定义：含有未知函数的导数或者微分的方程
（1）未知为一元：常微分
（2）未知函数最高阶导的阶数称为阶
（3）形式：F（x，y，…,y(n)）=0
或：f（x）=y（n）+a1（x）y（n-1）+。。+an（x）
注：y（n）是必须有的
2分类
（1）线性n阶：y到y（n）的次数都是1次
（2）否则为n阶非线性微分方程
3 通解，特解与初值
（1）基础：y这个函数n阶可导，F（x，y，…,y(n)）=0
（2）通解：含有h个不定常数的解，h=方程阶数
（3）特解：n阶方程需要n个初值条件来确定{Cn}
4 特解为积分曲线，而通解为积分曲线族
Ⅳ齐次方程
1.定义：dy/dx=f（y/x）
二、基础法
1变量分离
（1）dy/dx=F(x,y)=f(x)g(y)
dy/g(y)=f(x)dx,
G(y)=F(x)+C
（2）齐次式
①令u=y/x
②dy/dx=u+x du/dx=f（u），∫du/【f（u）-u】=∫dx/x
2逻辑斯蒂方程
（1）核心：假定树的增高速度与高度，最高高度与现有高度差成正比
（2）步骤
①建立方程：d h（t）/dt=kh（t）【H-h（t）】
②dh/【h（H-h）】=kdt
③1/H ln[h/（H-h）]=kt+C1
④C2 e*kHt=h/(H-h)
⑤限制性增长模式：lim（t→∞）h（t）=H
三、一阶线性微分方程
Ⅰ一阶线微
1定义：dy/dx+P(x)y=Q(x)
(1)齐次：Q（x）=0，非齐次：Q（x）≠0
（2）（对应的）齐次通解：y=Ce*(-∫P（x）dx)
2常数变易法（解决非齐次通解）
（1） y= C（x）e*(-∫P（x）dx)
（2）dy/dx=C’(x) e*(-∫P（x）dx)-P（x）C（x）e*(-∫P（x）dx)
（3）代入定义式：Q(x)=C’(x) e*(-∫P（x）dx)
（4）C(x)=∫Q(x) e*(∫P（x）dx) dx+C
（5）汇总：
①齐次通解：Y（x）=Ce*(-∫P（x）dx)
②非齐特解：y￥（x）= e*(-∫P（x）dx)
∫Q（x）e*(∫P（x）dx)dx
③y= Y（x）+ y￥（x）
3.初值（x0，y0）：将下列式积分号改为：∫（下x0上x），将C改成y0
y=e*(-∫P（x）dx)【C+∫Q（x）e*(∫P（x）dx)dx】
Ⅱ伯努利方程
1定义：dy/dx+P（x）y=Q（x）y*α
2转变
（1）y*（-α）dy/dx+P（x）y*（1-α）=Q（x）
（2）令z=y*（1-α）
①dz/dx=（1-α）y*（-α）dy/dx
②1/（1-α）dz/dx+zP（x）=Q(x)
③dz/dx+（1-α）zP（x）=（1-α）Q(x),（1-α）P（x），（1-α）Q(x)模块代入
四、高阶微分
Ⅰ可降阶
1.y（n）=f（x）：n次积分即可
2.y’’=f(x,y’)
（1）令y’= p（x），∴p’=y’’=f(x,p)
(2)y’=φ（x，C1）,y= ∫y’dx=∫φ（x，C1）dx
3.y’’=f(y,y’)
(1)令y’=p(y),∴y’’=p dp/dy=f(y,p)
(2)dy/dx=p=φ（y，C1）,dx=dy/φ（x，C1）
X+C2=∫dy/φ（x，C1）
Ⅱ高阶线性微分方程
1二阶齐次线性微分方程
（1）y’’+P(x)y’+Q(x)y=0
(2)解的叠加原理：y1(x),y2(x)为上述式子两个特解，那么y=C1y1+C2y2也为解，且当y1，y2线性无关的时候，y为通解
（3）线性关系
①线性无关：y1/y2≠C(常数)为其充要条件
②线性相关：∃不全为零的{kn}，st Σ（i=1，n） kiyi（x）=0（恒等），则称y1……yn线性相关
2二阶非齐次解
（1）定义y’’+P(x)y’+Q(x)y=f（x）（f（x）不恒等于0，称之为非齐次项）
（2）定理：y*为非齐次的特解，y-为齐次的通解，则y=y-+y*为非齐次的通解
其中y-=C1y1+C2y2
3.特解的叠加
y（n）+P（x）y（n-1）+……+Q(x)y=Σ（i=1，n）fi（x）
若yi*为y（n）+P（x）y（n-1）+……+Q(x)y=f i（x）特解，那么
Σ（i=1，n）yi*为y（n）+P（x）y（n-1）+……+Q(x)y=Σ（i=1，n）fi（x）特解
4.非齐次与齐次的关系
（1）若y1，y2为非齐次的特解，则y=y1-y2为对应齐次的解
（2）例子：y1=x+2e*x，y2=x+e*x，y3=x+1
①y1-y2=e*x，y1-y3=2e*x-1
y-=C1e*x+C2(2e*x-1)
②y=x+1+ C1e*x+C2(2e*x-1)
Ⅲ二阶常系数齐次线性（p，q为常数）
1. y’’+py’+qy=f（x）
2.令y=e*（rx）
∴e*（rx）（r*2+pr+q）=0，Δ=p*2-4q
（1）p*2-4q＞0，r=-p/2±√Δ/2，解得y=C1e*（r1x）+ C2e*（r2x）
（2）p*2-4q=0，r=-p/2，y=（C1+C2 x）e*（rx）
（3）p*2-4q＜0，r=-p/2±i√（-Δ）/2，
y=e*（αx）（C1cosβx+C2sinβx）
补充&欧拉公式：e*ix=cosx+isinx
Ⅳ二阶常系非齐次（先确定k，然后对应次数项用待定系数法）
1.f（x）=Pm（x）e*（λx），Pm（x）=a0x*m+……amx*0
令y=x*k Qm(x) e*（λx）
(1) λ*2+pλ+q≠0，则取k=0
（2）λ*2+pλ+q=0，2λ+p≠0，则取k=1
（3）λ*2+pλ+q=0，2λ+p=0，则取k=2
2 f（x）=e*（αx）【P l（x）cosβx+P n（x）sinβx】
（1）y=x*k e*（αx）【Am（x）cosβx+Bm（x）sinβx】，m=max（l，n）
（2）①α+iβ不是特征方程根，则取k=0
①α+iβ是特征方程根，则取k=1
五、全微分方程
Ⅰ定义：若单连通区域G内有∂P/∂y=∂Q/∂x，则Pdx+Qdy=0为全微分方程，
du（x，y）=Pdx+Qdy，u（x，y）=C
Ⅱu=∫（下（x0，y0），上（x，y））Pdx+Qdy=C
以ADB曲线积分为例
u（x，y）=∫（下x0上x）P（x，y0）dx+∫（下y0上y）Q（x，y）dy
Ⅲdu=Pdx+Qdy
1. ∂u/∂x=P，∂u/∂y=Q
2.u=∫Pdx+φ（y）
∂u/∂y=∂/∂y （∫Pdx）+φ’（y）=Q
3. φ’（y）=Q(x,y)- ∂/∂y [∫P(x,y)dx],再来一次积分即得
