阿基米德如何借助杠杆原理确定任意球缺的体积
对球体的研究，也遵循了由特殊到一般的思维途径。首先我们研究了球体这种规则的完美几何体，接着研究了半球体。但是，在平面截球体的过程中，我们可能遇到的更多是一般的截取部分，往往称其为球缺。球体和半球体的体积公式以及它们的重心位置，我们都已经论述过了，那么，任意截取的球缺的体积又该如何计算呢？在现代数学中，遇到此类问题，大家首先想到的还是积分法，请看百度百科中给出的求法：
看不懂没关系，下面开始说人话。对于没有微积分诞生时期的古人来说，又该如何求任意球缺的体积呢？或者说，我们能不能把它跟我们已经充分掌握的一种几何体建立关联呢？这条化归与转化之路，是数学研究常用的方法。阿基米德采用了跟球缺的内接圆锥体之间建立关联，来确定球缺的体积，如果能在二者之间建立比例关系，那么就可以通过圆锥体的体积来求球缺的体积了。我下面给出以下问题，如果您能逐一解答，那么本文剩余的部分就不用再看了，如果不能，再详细 阅读我们翻译的文本。问题如下：
1.如何创建杠杆求任意球缺的体积呢？
2.除了球缺还需要什么立体图形辅助证明？
3.用切面截立体图形切面截出了哪些有用的平面图形？
4.类比命题2球体体积公式的推导过程，这些截面圆之间存在什么样的数量关系呢？
5.由截面圆之间的关系能推出它们对应的立体图形之间又有什么样的平衡关系呢？
6.这些等底等高的立体图形的重心分别在哪里呢？
7.借助杠杆原理可以得到怎样的比例关系呢？
8.在圆锥体与球缺之间又存在什么样的比例关系呢？
9.如何化简这个比例关系？
10.半球体的相关圆锥与球缺的内接圆锥有什么比例关系呢？
11.球缺与其内接圆锥体之间存在什么样的比例关系呢？
12.最终的结论是什么？
在整个过程中，首先建立杠杆系统，然后进行截面分析，借助以往的第二个命题，确立这些截面之间的平衡关系，进而叠加成各自对应的立体图形，再用杠杆确立这些立体图形之间的平衡关系，然后再一系列的数量变换和比例换算中，确立球缺与其内接圆锥体之间的比例关系，最终，我们就可以通过圆锥求球缺的体积了。
请看译文：
