【零基础学经济Ep65】查漏补缺——数学基础（七：史老师视频微分方程）+经济概念梳理
整理史济怀老师视频课中关于常微分方程的内容，然后聊“无差异曲线”的形状。
part 1 史济怀老师视频课微分方程部分
&2.一阶微分方程
一阶微分方程——形如F（x，y，y'）=0的关系式——y为未知函数，x为自变量，含有y的一阶导数的方程。
&2.3一阶线性方程
先把之前聊过的内容复习一下——
线性方程——顾名思义，就是里面每一个含未知量x的项都是一次的。
原因在于，F（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的图像是一条直线，顾名思义，线性函数，于是形如0=ax+b就是线性方程了，这也是为什么，在常微分方程课程中，线性代数的内容依然很重要的原因。
非线性方程，往往可以采取局部分析的方法，转化为线性方程，所以线性方程可以说是微分方程的基础内容。
依然按照从简单到复杂的顺序，最简单的线性方程是一阶线性微分方程，所以我们就从这种类型开始了。
一阶线性微分方程——即只含有一阶导数的线性微分方程，形如dy/dx+P（x）y=Q（x）的微分方程。——一阶线性微分方程又分为两种——
齐次方程——Q（x）恒为0；
非齐次方程——Q（x）不恒为0。
上次聊了一阶齐次线性方程的通解和特解的导出，这次来聊例子。
例子——解方程dy/dx-y/x=-1
分析：对比一阶线性微分方程的形式，找出P（x）、Q（x），在这里，P（x）=-1/x，Q（x）=-1。
解（常数变易法）：
a.先找出该方程对应齐次方程dy/dx-y/x=0的通解——
套公式：y=Ce^（-∫ P（x）dx）=Ce^[-∫ （-1/x）dx]=Ce^[∫ （1/x）dx]=Ce^（ln|x|）=C|x|=Cx
注：因为C为任意常数，故而绝对值符号可去。
b.找出该方程的一个特解——
设特解y=u（x）e^（-∫ P（x）dx）=u（x）x——其中u（x）为关于x的未知待定函数；
由1，dy/dx=d[u（x）x]/dx=u'（x）x+u（x）；
将1，2代入原方程得：dy/dx-y/x=u'（x）x+u（x）-u（x）x/x=u'（x）x=-1；
由3，u'（x）=-1/x，则u（x）=-ln|x|+C'——其中C'为任意常数，为了方便，我们取C'=0；
综上求出该方程一个特解y=-xln|x|。
c.将a中的通解与b中的特解相加即为该方程的通解——
解得y=xln|x|+Cx——其中C为任意常数。
例子——解方程dy/dx=y/（2y^2+y-x）
分析——
先将该方程化成一阶线性方程的形式，dx/dy=2y+1-x/y，即dx/dy+x/y=2y+1——如果把x当做自变量，方程形式较复杂，把y当做自变量会更容易处理，启示是遇到分母较复杂而分子较简单的形式，不如分析其倒数更方便；
找出P（y）、Q（y），在这里，P（y）=1/y，Q（y）=2y+1。
解（常数变易法）：
a.先找出该方程对应齐次方程dx/dy+x/y=0的通解——
套公式：x=Ce^（-∫ P（y）dy）=Ce^[-∫ （1/y）dy=Ce^（-ln|y|）=C|1/y|=C/y
注：因为C为任意常数，故而绝对值符号可去。
b.找出该方程的一个特解——
设特解x=u（y）e^（-∫ P（y）dy）=u（y）/y——其中u（y）为关于y的未知待定函数；
由1，dx/dy=d[u（y）/y]/dy=[u'（y）y-u（y）]/y^2；
将1，2代入原方程得：dx/dy+x/y=[u'（y）y-u（y）]/y^2+u（y）/y^2=u'（y）/y=2y+1；
由3，u'（y）=2y^2+y，则u（y）=2y^3/3+y^2/2+C'——其中C'为任意常数，为了方便，我们取C'=0；
综上求出该方程一个特解x=（2y^3/3+y^2/2）/y=2y^2/3+y/2。
c.将a中的通解与b中的特解相加即为该方程的通解——
解得x=2y^2/3+y/2+C/y——其中C为任意常数。
下次聊伯努利方程。
part 2 经济学概念——高鸿业
高鸿业《西方经济学》第三章：效用论——
引入了效用的概念——
效用——效用是指对商品满足人的欲望的能力评价，或者说，效用是指消费者在消费商品时，所感受到的满意程度。——一种主观心理评价。
效用的度量——
基数效用论：边际效用分析方法——“效用单位”：表示效用大小的计量单位。
序数效用论：无差异曲线分析方法——效用不可以具体度量，只能排序。
无差异曲线——
意义：在维持效用水平不变的前提下一种商品对另一种商品的替代程度；
一般形状：由边际替代率递减规律决定的无差异曲线是凸向原点的，这是无差异曲线的一般性状。
特殊形状——
a.完全替代品的情况
含义：完全替代品指两种商品之间的替代比例固定不变的情况。
特点：在完全替代的情况下，两商品之间的边际替代率MRS12就是一个常数，相应的无差异曲线是一条斜率不变的直线。
例子：对小明来说，三杯汽水x和两根冰棍y是无差异的，则对应的无差异曲线是斜率为-2/3的直线。
b.完全互补品的情况
含义：完全互补品指两种商品必须按固定不变的比例同时被使用的情况。
特点：相应的无差异曲线为直角形状。
例子：一副眼镜架y必须和两片镜片x一起使用，其效用曲线由相互垂直的两组直线构成。
今天就到这里。
