LDPC 软判决算法之似然比形式 (一)
本系列文章列表：
LDPC 低密度奇偶校验码的软判决译码算法浅析(二)--降低运算量
LDPC 低密度奇偶校验码的软判决译码算法浅析（三）--算法和代码
LDPC 软判决算法之似然比形式 (三) tanh-lambda 规则
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在前面的文章中，我们推导了 LDPC 软判决译码的迭代算法，这篇文章，我们用对数比的形式，再推导一下 LDPC 的迭代算法。
（录制的视频在：https://www.bilibili.com/video/BV1JV4y1W7Yq/）
本文参考了文献[1] 的 15.5.6 章节。
为了判决各个发送比特，我们可以用后验概率比值取对数来评估，即：
如果这个比值大于 0 ， 则把 比特 n 判决为 1，否则判决为 0.
下面我们来推导上面公式的递推表达式。
我们先对公式(1)中的分子进行推导：
其中用到了：
同理，对公式(1)中的分母部分进行推导：
则公式 (1) 可以 推导为
其中
这一部分是可以根据信道的特点（例如加性高斯白噪声信道）以及调制方式，可以容易计算出来。如果是 BPSK(1-->1, 0-->-1) 调制，经过加性高斯白噪声信道，则
而第二部分
把校验方程的约束，考虑进来，对于 的情况，
参与的那些校验方程要想成立，则每个校验方程中，除了
这个比特外，其余的比特加起来应该等于 1；同理，对于
的情况，
参与的那些校验方程要想成立，则每个校验方程中，除了
这个比特外，其余的比特加起来应该等于 0. 为了行文的方便，我们引入一个记号：
那么 ，就可以表示为
参与的那些校验方程，每个校验方程里面的其它比特之和为 1，即
； 同理，
，就可以表示为
参与的那些校验方程，每个校验方程里面的其它比特之和为 0，即
，那么：
这里需要做一个假设近似，即 参与的校验方程，相互之间独立，即这些校验方程中，除了有共同的比特
外，其它比特没有相同的。当然，这个假设在一般情况下都是不成立的，这里假定成立，或者近似成立（只有相同的比特数不是很多），在这个假设情况下，上面公式右边的分子和分母部分，又可以拆成多个概率的乘积：
同理，
则公式 (2) 变成：
根据公式 (1),
可以记为
则把上面的推导的结果，代入公式 (1)，我们可以看到：
这里面的思想，比特 的对数比
，可以用校验方程成立的某种比值（在
和
两个条件下，校验方程成立的概率的比值）来表示。即，校验方程成立的概率，可以用来估算比特取值的概率。我们举个例子来进一步理解上面的结果。
假设 LDPC 用的校验矩阵如下，本篇文章都是以这个校验矩阵为例子。
我们译码出来的码字表示成向量形式：
这个译码出来的码字，不是指发送的正确的码字，是表示我们待译码出来的，例如，我们可能想评估 c1=1 的可能性（概率）。
我们把接收到的数据表示为一个向量：
根据线性分组码相关的原理，我们知道有如下的校验方程：
计算后的结果 z ，是一个含有5个元素的向量，记为：
为了易于理解，我们把上面这个矩阵形式的方程，展开成 5 个校验方程：
咱们考虑正在译码 这个比特，我们需要计算如下这个概率比值的对数：
根据公式 (3)：
参与的校验方程有
这三个，所以
因为第一个校验方程的比特有1,2,3,6,7,10，去掉比特 2 后还有 1,3,6,7,10，所以
同理：
从例子中，也可以看出来有用校验方程成立的概率，来估算待译码比特的概率比值的对数，从而可以用来判决这个待译码的比特。
至此，我们第一阶段的推导已经结束，即用校验方程的某种概率来估计待译码比特的某种概率。
-------------------------------------------- 第二段 --------------------------
我们来看公式 (3) 中右边求和公式里面的表达式
根据 函数的定义，写成概率比值的对数形式：
再把 的定义代进去：
这是其具体含义。我们直接把 的定义代入到
有：
根据 tanh rule 定理（这个在附录中推导)，这个公式是定理，其中用到的变量，与上面的推导无关，其中 是 取值 0/1 的二值随机变量：
把这个定理应用到公式 (4)
我们为了区分，引入一个新的符号，对上面公式右边，用一个新的符号来表示：
这个 ，可以理解为第 m 个校验方程成立的某种度量，是用 cn=1 和 cn=0 两种情况下的校验方程成立的概率做比较来实现的一种度量，总之，这是衡量校验方程成立的一个量。而这个量中，即公式(5) 中的
，又是 比特 j 的一种概率度量。在具体算法实现时，令其等于
。
则公式 (3) 变成：
公式 (6) 和公式 (5) 一起构成了一种循环迭代。
------------------------------ 至此完成了一轮计算。我们继续举个例子来说明：
假如正在译码 c2 这个比特，即 n=2，c2 参与的校验方程有 z1,z4,z5 这三个，我们考虑来计算第四个校验方程成立的度量，即 m=4，计算 .
第四个校验方程，参与的比特有2，4，5，6，8，10 这六个比特。则公式 (5) 就是：
为了计算出来上个公式，我们需要知道 :
在第一轮时，直接用各自的自然比来计算：
这样就可以计算出来 :
用类似的方法，可以把所有的 都计算出来。
参与的校验方程有
这三个，则：
同理，可以计算出所有的 . 做一次判决。
---------------------例子结束
这个时候，把 都做一次判决，如果满足检验结果正确，则结束。否则，我们有理由用新估计出来的
来进一步强化对校验方程成立的度量的准确性，则
这个需要被更新。
在这个更新中，因为上一轮的 的计算中，是包含了第 m 个校验方程的度量的信息的，所以，为了更新第 m 个校验方程的信息，则需要把 上一轮的
减掉 上一轮的
，则这个更新公式为：
代入公式(5) 有：
------------我们继续用例子来说明一下
接着前面的例子，我们现在已经有了新的 ，这是新的对比特取值的一种概率度量，现在用这个度量去更新对校验方程成立与否的度量。例如我们要更新这个：
需要注意的是，因为 中都用了 第四个校验方程的信息，我们现在的目的又为了计算第四个校验方程的度量信息，因此避免这种自循环的问题，需要从中都拿掉
的影响。
即在以上公式中依次分别拿掉：， 然后，再送到
的计算公式中
------------例子结束
整体示意流程图如下：
[1] Error Correction Coding--Mathematical Methods and Algorithms , Todd K. Moon, Wiley, 2005 ，主要参考第 15.5 章节。
