一个无聊的中午，我翻开了《费曼手札：不休止的鼓声》。这本书编录了理论物理学家费曼的家书信件。费曼在写给他老妈的信中，附了一道有趣的数学题，叫他老妈在和老爸唠嗑的时候，捎给他做一下。

题目 一个长除式子

题目是这样的

这个对齐我真的尽力了…… 或者可以参考一下图片

其中A都是相同的数字，·是不同于A的其他数字，试着还原出这个长除式子

解题思路

1. 先标个号

由于除数经常出现，不妨我们先给除数每个点一个名字： α, Α, β

同样也给商的每个点一个名字：a, b, A, c。于是这个式子可以重新写成

然后……
做不下去了？emmm不妨先从有更多信息的部分下手吧。比如说第3、4、5行，这里有好多A呢……

2. 一个数与不同数字相乘，乘积个位数相同

仔细观察的话会发现，第1次乘积和第2次乘积，末尾都是A。
诶，其实这是一个挺好的提示。

首先可以知道 a > b，因为a与除数的积是4位数，b与除数的积是3位数。而 β

 分别与a，b相乘，得到的积个位数相同都是A。

那么什么样的 β 和a，b能够满足这样的性质呢？我们不妨来观察一下九九乘法表：

为了方便，我把它放到一个表格里去：

观察某一列，也就是某一个数分别与1~9相乘。会发现，奇数列（除了5），乘积的个位数每个都是不同的。而对于上面那个式子，5显然不对，不然就会有好多A冒出来了……

而偶数列，每相隔5，就会重复一次。
比如
1∗4=4和6*4=24；

2*4=8和7*4=8。

于是观察九九乘法表得到的小规律带来两个信息: 

3.枚举，一个个试过去吧

这里好像没啥技巧了，就一个个试过去吧。我的一个同学挺倒霉的，总共3*4 = 12种情况，他愣是把全部枚举完，最后一个才对……

当你算到7*84=588的时候，想必会非常激动和兴奋！

所以枚举完后得到 

4. 填补收工

把上面的结果代进来，原来的式子就变成了这个模样：

看上去胜利在望了呢

然后用一下刚才没有用到的第7行信息，也就是 

 就能得到 

 再代回式子里，计算填补一下，就得到了：

啧，这个c好像从刚才到现在都没什么存在感啊。现在与胜利一步之遥，就差这个c了……不会又要枚举吧？
又细心观察，会发现 c 与484的乘积是个四位数，可以排除1，2；
又又细心观察的话，3872的7上面那个点·肯定是0，可以以此为验证，不用全算出来。所以还是稍微枚举了一下……如果你运气好，直接从9开始猜，一下就猜中了。

最后把 c=9 代进去，整个式子就被复原完毕啦啦啦啦~

是不是蛮有成就感的！

小小反思

这个题目的破题点，就在于那个 β 与a，b相乘，个位数相同。

其实如果再细品这个地方，乘积的个位数相同……

这就相当于二者之差刚好是10的倍数。而 10 = 2*5
因此 β 含2的因子，a-b =5；

或者是 β 含5的因子，a-b=2。

这似乎可以省下看九九乘法表的时间呢。

如果是其他进制的话，比如八进制 8=2*4 ，类似的，就有 β 含2的因子，a-b =4；

或者是 β 含4的因子， a-b=2

这里就有个比较尴尬的，如果是7进制，这是个质数，那么它单个数字再怎么乘，个位也不会重复。

附录

原文英文：
While you're tittling paf, give him this problem in LONG DIVISION. EACH OF THE DOTS REPRESENTS SOME DIGIT(ANY DIGIT). EACH OF THE A's REPRESENTS THE SAME DIGIT(for example a 3). NONE OF THE DOTS ARE THE SAME AS THE A(is, no dot can be a 3 if A is 3)
个人翻译： 当你在和老爹唠嗑的时候，把这个长除法式子给他做做。每个点·代表些数（任何数字），每个A代表相同的数字（比如3），点·都是与A不同的数字（意味着如果A是3，点·就不是3）