还是熟悉的味道（2021北京圆锥曲线）

2022-07-16 21:59 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2021北京，20）已知椭圆 $E$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3Eb%3E0$ ）过点 $A%5Cleft(%200%2C-2%20%5Cright)%20$ ，以四个顶点围成的四边形面积为 $4%5Csqrt%7B5%7D$ .

（1）求椭圆 $E$ 的标准方程；

（2）过点 $P%5Cleft(%200%2C-3%20%5Cright)%20$ 的直线 $l$ 斜率为 $k$ ，交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B$ 、 $C$ ，直线 $AB$ 、 $AC$ 交 $y%3D-3$ 于点 $M$ 、 $N$ ，若 $%5Cleft%7C%20PM%20%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%20PN%20%5Cright%7C%5Cleqslant%2015$ ，求 $k$ 的取值范围.

解：（1）由题可知 $b%3D2$ ，

且 $2a%5Ccdot%202b%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D4%5Csqrt%7B5%7D$ ，

解得 $a%3D%5Csqrt%7B5%7D$ ，

故椭圆 $E$ 的方程为 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B4%7D%3D1$ .

（2）先画图

椭圆 $E$ 的方程可改写为

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2-4y-4%7D%7B4%7D%3D1$ ，

整理得

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%3D0$ ，

直线 $l$ 的方程为 $y%3Dkx-3$ ，

改写为 $kx-%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%3D1$ ，

联立椭圆 $E$ 与直线 $l$ ，得

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5Cleft%5B%20kx-%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5Cright%5D%20%3D0$ ，

展开

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-kx%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%2B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%3D0$

并项

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B5%7D-kx%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%3D0$ ，

各项同除以 $%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2$ ，得

$%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7By%2B2%7D%20%5Cright)%20%5E2-k%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bx%7D%7By%2B2%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%3D0$ .

由 $%5CvarDelta%20%3Dk%5E2-4%5Ctimes%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Ctimes%20%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%3Dk%5E2-1%3E%200$ ,

得 $k%3C%20-1$ 或 $k%3E1$ .

由 $k_%7BAB%7D%3Dk_%7BAM%7D%3D%5Cfrac%7B-2-%5Cleft(%20-3%20%5Cright)%7D%7B0-x_M%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_M%7D$ ，

得 $x_M%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAB%7D%7D$ ，

同理 $x_N%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAC%7D%7D$ ，所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Cleft%7C%20PM%20%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%20PN%20%5Cright%7C%26%3D%5Cleft%7C%20x_M%20%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%20x_N%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAB%7D%7D%20%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAC%7D%7D%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAB%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAC%7D%7D%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cleft%7C%205k%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D5%5Cleft%7C%20k%20%5Cright%7C%5Cleqslant%2015%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以 $-3%5Cleqslant%20k%5Cleqslant%203$ ，

综上所述： $k%5Cin%20%5Cleft%5B%20-3%2C-1%20%5Cright)%20%5Ccup%20%5Cleft(%201%2C3%20%5Cright%5D%20$ .

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