包络线的一般求法及其证明(补充)

这篇专栏是对上一篇内容的补充

上一篇详见:https://b23.tv/WtOTVz5

上一个专栏介绍了求含参曲线族包络线的两种思想:方程思想和控制变量思想。若将这两种思想结合，则可以证明求包络线的一般方法:令对参数的偏导数=0，并将此等式与曲线联立消去参数即得包络线。

下面给出简单解释。

设曲线解析式为f(x,y,θ)=0,其中θ为参数

取一点P(x₀,y₀)，代入曲线方程得:

f(x₀,y₀,θ)=0

此时上式为关于θ的方程。

若该方程有实数解，则该点P位于包络区域内，反之则在包络区域外。

此时我们将问题转化成了方程f(x₀,y₀,θ)=0有无实数解来处理。

不妨令其为以θ为自变量，x₀,y₀为参变量的函数g(θ),问题又可以转化为g(θ)有无零点来处理。(这里可以理解为所谓的“主元法”，以θ为主元，其实也就是控制变量的思想参与其中了)

那么我们只需要看g(θ)的值域是否包含0。

不妨回顾下上一章的例子。

求偏导的缘由便可以用如上的等效框架去解释了

而这两题在上一章又分别采用另外的方法解决，分别是二次函数判别式法和三角函数辅助角公式。其实这两个方法只是在上图框架中的转化为函数零点问题后处理零点问题的第二条路。最终目的都是一样:求出值域。

而求值域的其中一个方法就是求导判断单调性、找极值点来处理。

因此，对原式变量θ求偏导求出的其实就是g'(θ),另其=0便可求出g(θ)的极值点，设其为θ₀(θ₀是用x₀和y₀来表示的，因为前面我们已经取定了一个点P,这两者可视为常数，这里对应的就是消参的步骤)，将θ₀回代即得g(θ₀)=0。而又∵g'(θ₀)=0，故此时函数g(θ)与θ轴(自变量轴)相切

相切恰好是相交和相离的边界，微调θ使得g(θ)稍微大或小一点点，则会使函数g(θ)变为与θ轴相交或相离，故此时可作为零点个数的分界点。

当然了，这是不太严谨的证明方法，只是大概说明了有这么个理。严格的证明建议还是去看书。[逃~]

让我们再举一例来练习练习。

注明一下，上图中cosθ=³√(x/L),sinθ=³√(y/L)，再代入sin²θ+cos²θ=1即得x,y关系式

最后，以自己布置的一道微积分小题结束本次专栏。上一章提到的抛体运动的包络线，若拓展到三维中包络线就成了包络面，将抛物线和包络线绕z轴旋转即得。

ps:图片来源:BV1234y1o7jp

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