【数学基础41】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

2. 双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；

3. 性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量。
   

4. 矩阵乘法运算律——
   

   a.结合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

   e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

5. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

6. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

7. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

8. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

9. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
   

   方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

   方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

10. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。

11. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。

12. 定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。

13. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

试证下述命题：an=1/n-2/n+3/n+……+（-1）^（n-1）n/n，n=1，2，……不是收敛列。

证：

1. a2n

   =（1/2n-2/2n）+（3/2n-4/2n）+……+[（2n-1）/2n-2n/2n]

   =-n/2n；

2. a2n+1

   =1/（2n+1）+[-2/（2n+1）+3/（2n+1）]+……+[-2n/（2n+1）+（2n+1）/（2n+1）]

   =（n+1）/（2n+1）

3. 子列{a2n}与{a2n+1}极限不相等，故而数列发散。

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——

证明拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）

证：

1. （axb）（a'xb'）

   =（a，b，（a'xb'））

   =（（a'xb'），a，b）

   =[（a'xb'）xa]b

   =[（aa'）b'-（ab'）a']b

   =（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'），证毕。

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

证明：设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A.

证：

1. 因为AB=E，|AB|=|I|。从而|A||B|=1。因此|A|不为0，|B|不为0。于是A，B都可逆。

2. A=AE=A（BB^（-1））=（AB）B^（-1）=EB^（-1）=B^（-1），

   A^（-1）=（B^（-1））^（-1）=B，证毕。

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