2023数分Day67(多元函数微分学与隐函数定理5：变量变换与微分方程)
一、整体感受
1、需要对链式法则有清晰认识，不然算着算着特别晕。本节也是一次对链式法则求导的再一次巩固。
2、注意力需要一定程度的集中，不然稍微开个小差，
就会犯如下错误：正号写成负号；要乘到分母却乘到分子上 等
3、不难，就是算。不过不仅仅是算，对于题目内涵的理解不能漏，第二题目不要漏读，我犯了两个错误，下面做自我检讨。
（1）对于东北大学这道题，最后一步确定a范围，并没有体会到题目中“简化为zuv=0”中简化这词的含义。
（2）对于上财这道题，由于路径依赖，看到前3题都是只对自变量做变换即可，所以就没把题目读完整，而本题特色就在同时也对因变量也作出变化，由于我的审题上疏漏，导致整道题做错。一定深刻反思，可以学习做过题目思路，但不可不思考、阅读直接依赖之前思路，要关注每道题的特点，复习、学习过程上不能做思维上的懒惰者，自勉之。
二、需要复习（学习）以及掌握的
1、中值定理理论及应用
（提到这个中值定理是因为大连理工中最后一步用到了一个结论“若zuv=0,则z=f(u)+g(v)”,这个结论证明最重要一步就是中值定理的使用）
（1）中值定理理论
（2）中值定理应用（以一个结论证明，说明如何使用）
2、由于上财这道题出的非常精彩，准备去做一下整套卷。
三、具体题目
1（西南交大）
本质：链式法则求偏导+充分利用题干
思路：去验证左边=右边，这里从左边入手，必须得算zxx和zyy,算这两个前提就是得算zx和zy。算就可以。
具体做法：
①必须先从题干的那个关系式入手，由于u,v是关于x,y的函数，所以求出来ux,uy,vx,vy这是为为之后求zx,zy,zxx,zyy做准备。
②求zx,zy
③求zxx,zyy
④把zxx,zyy代入要证明左边式子，发现=右边，等式成立。
2（大连理工）
本质：链式法则求偏导
思路：关键把zxx,zyy,zy全算出来，最后代入让微分方程为0，看看能得到什么。
具体做法：
①充分利用题干，把u和v分别关于x,y求偏导，为求zx,zy做铺垫；
②求zx,zy，利用链式法则
③求zxx，zxy，继续利用链式法则做
④代入微分方程得到4e^(2y)*zuv=0,这说明zuv=0，
⑤利用本专栏二、1应用的结论得到z=f(u)+g(v),再把u和v换成用x,y的表达式就可以了，注意：这里再补充一句f,g为任意二阶连续可微函数。
3（东北大学）
本质：链式法则求偏导。
本题特色：“简化为”的理解；不过仍然把题干中zxx,zxy,zyy求出代入，去算常数a。
具体做法：
①充分利用题干，把u和v分别关于x,y求偏导，为求zx,zy做铺垫；
②求zx,zy，利用链式法则
③求zxx，zxy，zyy继续利用链式法则做
④zxx，zxy，zyy代入方程，得到（10+5a)zuv+(6+a-a^2)zvv=0,这一步是关键，由于要化简到zuv=0的形式，这说明zuv前面的10+5a≠0，同时由于化简的最终结果没有zvv，那么zvv前面的系数(6+a-a^2)=0，二者同时满足，得到a=3.
注：“对于10+5a≠0”的说明，为何是≠0，而不是=1呢？
因为只要能够做到zvv前面的系数(6+a-a^2)=0，(6+a-a^2)zvv=0之后，此时zuv前面的系数总能同乘一个非零数做到使得zuv前面系数为1的，所以只要求这个系数不为0即可。
4（上财）
特色：由于这道题我犯的错，让我觉得这题出的非常好，勾起了我做全卷的想法。这个教训来的好
本质：链式法则求偏导。
思路：仍然是求zxx,zyy,zxy；不过这里特别一点是w=xy-z这个条件，说明必须先把z表示出来，所以z=xy-w，由这个式子结合变换u=x+y,v=x-y再来求zxx,zxy,zyy。如果不处理这一步，算出最后的结果是zuu=0，这是错误结果
具体做法：
①由于题目要给出w关于u,v的偏导数所满足方程，要求w关于u,v求偏导，必须把z先表示出来，所以由因变量变换w=xy-z,得到z=xy-w.
②充分利用题干自变量变换，把u和v分别关于x,y求偏导，为求zx,zy做铺垫；
③求zx,zy，利用链式法则
④求zxx，zxy，zyy继续利用链式法则做
⑤zxx，zxy，zyy代入方程，得到-4wuu+2=0，即wuu=1/2。
【错误示范】
【正确示范】
