量子化学习题1.1-1.2讲解

说明：题目选自封继康先生的量子化学的课后习题。

断续更新。题目加我自己做的答案还有补充说明会以专栏的形式投。如果有疑问的可以提，我在下一次投稿的时候可以一起解答。

1.1

设粒子所处的状态可以用下列函数描述：

其中a,b为常数。求粒子的概率密度，并说明概率密度为实数。

首先回忆概率密度可以用波函数模的平方来度量（不一定等于，因为有归一化的问题）。模的平方为实部和虚部的平方和。由于它给的是指数形式，所以借用欧拉公式来化简，忘了欧拉公式的同学可以看视频。

我目前用不习惯约化普朗克常量，所以还是写成了h的形式。最后用一下二倍角，好看一些。最后的结果没有虚数单位i，明显是个实数。

1.2

若给出波函数：

其中a为实数，求其归一化因子。

这道题对于没有学过数理方程的同学来说有点困难，需要用到伽玛函数。所以我补充一些关于伽玛函数的结论。伽玛函数又称为第II类Euler积分，欧拉第二积分等(Г函数)，属于一种反常积分。形式如下：

我们记为Г(s)。它具有如下性质：

我们接下来利用Г函数的性质来解决这个问题。因为要求归一化因子，所以需要波函数模的平方，给的是实数函数，那就直接化简它的平方然后积分。