浅谈高等数学（4）

在本期内容开始前，先勘误一个上次文章中的问题：关于“可导”的概念，当时的极限不存在并非只有不趋于0和该处没有定义两种情况。然而，凡是这个极限不存在的情况，都称为不可导。

另外介绍一个前述概念“无穷大”：

定义  若函数当时，其绝对值能大于任何一个正数，那么称函数是当时的无穷大，记作（请注意，虽说这么记，但此时极限是不存在的）

还有同济版高等数学教材的链接：

https://pan.baidu.com/s/1Qcg8v3odXoTHLmzcXug_3Q?pwd=5230 

提取码：5230

第四期：趋近速度（1）

（无穷小的比较  等价无穷小替换）

高等数学中，把“趋近”研究得透彻实在是一项繁杂的工程。极限告诉了你函数趋近于什么数，导数通过趋近的手段定量地告诉了你函数的变化趋势，这是前述内容带给你的体会。而我们似乎还缺少“比较”——不同函数之间的比较：有些函数当自变量趋于同一个数时，函数值也趋近于同一个数，但他们趋近的速度却是有相同也有不同的（感觉和导数有相似之处吗？能将这个直觉上的相似转为数学语言吗？这值得思考，且在今后大为有用）。下面两张图直观地体现了这一点。

图1中有许多不同的函数曲线：（红），（绿），（橙，不属于定义的区域仍显示橙线系软件bug），（蓝），（紫）。这五条曲线在离原点远处大不相同，但又有共同点：它们在时的极限都为0。并且，仔细观察，我们又发现，这些函数甚至在原点附近近乎重合；换句话说，这些函数趋于0的速度是“快慢相仿”的。那不由得会引发我们的思考：那在趋于0时，它们是否可以看作是同一个函数呢？事实上，在某些情况下（注意这个“某些情况”，自己别想当然），确实可以。用通俗的语言来说，如果两个函数当自变量趋于同一个数时，函数值也趋近于同一个数，而且趋近的速度又是“一样快”的，那么这两个函数就是等价无穷小。这里的“等价”，就是说如果趋近速度“一样快”，它们就可以在某些情况下看作一个函数。

看完了那种最特殊的情况，我们来看看那些一般情况。图中分别为（绿），（蓝），（紫），（红）。它们趋于0的速度显然不同，通过图像就可以得知。例如绿线收敛速度比蓝线快，紫线收敛速度也比蓝线快。但我要是这么说，就体现不出紫线和绿线中哪个比蓝线收敛得快更多。于是我们想到了一个方法——求比值。过程很简单：

对比两个式子：我们发现，与“具有可比性”，也就是说“在一个量级上”，这时称这两个函数是“同阶无穷小”。而与当时相比，对来说可以看作0（无穷小），收敛快得多，反过来对来说可以看作无穷大，收敛慢得多。这时我们说是比高阶的无穷小，反过来是比低阶的无穷小。我们从图像上也清晰地看到这样的变化趋势：取一个离0很近的值，此时二次函数曲线比直线距离0接近得多。理解了这些概念，我们再次强调：无穷小是一个函数，当自变量趋于某个数（或无穷大）时趋于0的函数。然后，给出如下定义：

定义  设与是在自变量的同一个趋近过程（）中的无穷小。

     若（或），则称是比高阶的无穷小，是比低阶的无穷小，记作。

     若（为常数），则称与是同阶无穷小。

     若，则称与是等价无穷小，记作。

     若与是同阶无穷小，则称是关于的阶无穷小。

那不由得产生了下一个问题：我们去挖掘这样的一套理论有何最终目的？正如前述，当然是为了提高考试成绩使求极限更为简洁——可以利用等价无穷小将一些难以处理的函数（三角，反三角，对数，指数，双曲……）统统转化为多项式。

顺着这样的思路，我们发现，

定理  若，且存在，则

这个定理告诉我们，被求极限式子的一个因式可以用与之等价的另一个因式相替换。那如果是加减运算呢？例如的值，如果将替换为，那么极限值就是0了，然而事实上，。许多等价无穷小替换公式（也包括上述的那个例子）超出我们目前的能力范围，在之后更新到洛必达法则时会轻松很多。

等价无穷小替换还可以这样理解：例如，我们将其表示为的形式，就能方便地得到这恰是利用了这些等价无穷小公式。