大结局：考研线代·结论库(下·简略版）

续上一集详细版今年是没有了，明年再说。这一集更线代后三章的结论库

四、线性方程组

线性方程组的克拉默(Cramer)法则、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件、线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组的基础解系和通解、解空间、非齐次线性方程组的通解.

考试要求

l.会用克拉默法则.

2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.

3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.

4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.

5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.

结论：

4.1、线性方程组的系数矩阵的初等行变换不改变方程的解，谓之“等价”

4.2、线性方程组解的情况结论群：

4.3、线性方程组的通解：

这个线性方程解的结构和性质会在微分方程里有着重体现，https://www.bilibili.com/read/cv12862366

在这一集里就不摆了

方法：

4.1、高斯消元法/行阶梯形法解线性方程组

五、矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量的概念及性质、相似变换及相似矩阵的概念及性质、矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵.

考试要求

1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.

2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.

3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.

结论：

5.1、特征值的性质结论群：

5.2、矩阵相似的结论群

5.3、相似对角化的结论群：

5.4、实对称矩阵的结论群：

5.5、对角形重拐型

“对角形重拐型”——对角形的对角线上重特征值如果拐着邻元素，会导致特征子空间的坍塌

例如： 

5.6、用相似对角化求矩阵高次幂

矩阵高次幂如果题目中不给出具体的周期性条件，那么只有纵横一秩方和相似对角两种办法

方法：

5.1特征值、特征向量的求法

5.1.1、定义法

5.1.2、特征方程法（解算特征方程的通解），遍历每个特征值，得到每个特征值的特征向量

5.1.3、性质法

5.2、实对称矩阵相似对角的变换矩阵Q的求法

1）调用方法5.1求特征值、特征向量

2）调用方法3.1施密特正交化，如果已经正交的向量就省去正交化

3）将上一步得到的n个单位正交特征向量合写出Q，实对称矩阵的相似必定合同

六、二次型

二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的秩、惯性定理、二次型的标准形和规范形、用正交变换和配方法化二次型为标准形、二次型及其矩阵的正定性.

考试要求

1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理.

2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形.

3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.

结论：

6.1 二次型基本命题结论群：

6.2、矩阵合同的相关结论群：

6.3、二次型正定的相关结论群：

方法：

核心只有一个就是写标准形

6.1、配方法：

不说了，一般就配完全平方

6.2、换元法:

这个某些时候能口算，不能口算就不能用了，非主流

6.3、正交变换法

归结为方法5.2，只不过这个是对称矩阵是二次型系数矩阵

至此，线性代数所有的常用结论均已更完，方法库可能尚不完善。方法库的完善需要在明年的详细版本中完成。