离散滑模控制的基本原理

2022-06-11 15:59 作者:学海行舟 0人读过 | 我要投稿

滑模控制理论上是针对连续系统，但是在实际工业控制过程中由于采用计算机实时控制，被控对象变为离散系统。对于离散系统，滑模控制不能产生理想的滑动模态，只能产生准滑模控制，准滑动模态的定义如下：

$S%5E%7B%5CDelta%7D%3D%5C%7Bx%5Cin%20R%5En%7C-%5CDelta%20%5Cle%20s(x)%3DCx(k)%5Cle%20%2B%5CDelta%5C%7D$

上式表明从任意位置出发的离散系统，在有限控制周期内到达滑模面s(x)并在上面运动，则称为理想滑动模态。如果系统在带宽内不断穿越滑模面，则称为离散系统的准滑动模态，其中上式中的 $2%5CDelta$ 表示的是切换带的带宽，如下图所示。

为了分析离散滑模的存在性和可达到性，我们选取了如下的李雅普诺夫函数

$V(k)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Ds(k)%5E2$

则下面的条件需要满足

$%5CDelta%20V(k)%3Ds%5E2(k%2B1)-s%5E2(k)%3C0%2C%20s(k)%5Cneq0$

当采样时间T很小是，离散滑模的存在和到达条件可以表示为

$%5Bs(k%2B1)-s(k)%5Dsgn(s(k))%3C0$

$%5Bs(k%2B1)%2Bs(k)%5Dsgn(s(k))%3E0$

为了阐述离散滑模控制的设计，我们以离散指数趋近律为例进行设计。

对于给定的离散系统

$x(k%2B1)%3DAx(k)%2BBu(k)$

离散滑模面设计为

$s(k)%3DCx(k)$

其中， $C%3D%5Bc_1%2Cc_2...c_n%5D$

指数趋近律时域表示为

$%5Cdot%7Bs%7D(t)%3D-%5Cvarepsilon%20sgn(s(t))-qs(t)%2C%5Cvarepsilon%20%3E0%EF%BC%8Cq%3E0$

将上式进行离散化，得到指数趋近律为

$s(k%2B1)-s(k)%3D-%5Cvarepsilon%20T%20sgn(s(t))-qTs(t)$

为了满足收敛的条件，在选择参数时需要满足下面的要求

$%5Bs(k%2B1)-s(k)%5Dsgn(s(k))%3D-qT%7Cs(k)%7C-%5Cvarepsilon%20T%3C0$

$%5Bs(k%2B1)%2Bs(k)%5Dsgn(s(k))%3D(2-qT)%7Cs(k)%7C-%5Cvarepsilon%20T%7Cs(k)%7C%3E0$

其中，当采样时间T很小时， $2-qT%5Cgg%200$

则将滑模面 $s(k%2B1)%3DCx(k%2B1)%3DCAx(k)%2BCBu(k)$ 带入到趋近律，则可得到

$-(Tq-1)s(k)-%5Cvarepsilon%20T%20sign(s(k))%3DCAx(k)%2BCBu(k)$

假设滑模变结构可控条件 $CB%5Cneq%200$ 成立，则离散滑模控制率为

$u(k)%3D-(CB)%5E%7B-1%7D%5BCAx(k)-(1-qT)s(k)%2B%5Cvarepsilon%20T%20sign(s(k))%5D$

为了防止控制器发生抖振，我们可以采用饱和函数sat(s)代替理想滑模控制中的符号函数sign(s)：

$%20sat(s)%3D%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0A1%2C%20%26%20s%3E%5CDelta%20%5C%5C%0Aks%2C%20%26%20%7Cs%7C%5Cleq%5CDelta%2Ck%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CDelta%7D%5C%5C%0A-1%2C%20%26%20s%3C-%5CDelta%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A$

为了验证上述理论，我们针对下面的二阶离散系统进行滑模控制设计

$x(k%2B1)%3DAx(k)%2BBu(k)$

其中， $A%20%3D%0A%20%20%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%20%20%20%201%20%26%200.001%20%5C%5C%0A%20%20%20%200%20%26%200.9753%20%5C%5C%0A%20%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D%0A$ ， $B%20%3D%0A%20%20%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%20%20%20%20-0.0001%20%20%5C%5C%0A%20%20%20%20-0.1314%20%5C%5C%0A%20%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D%0A$

采样时间T=1ms，C=[5 1]，q=10， $%5Cvarepsilon%20%3D0.5$ ， $%5CDelta%3D0.005$ ，初始状态 $x(0)%3D%5B0.5%20%5Cquad0.5%5D$ ，Simulink环境下搭建的模型如下：

仿真结果如下图所示。

接着我们针对位置跟踪进行滑模控制设计，离散系统状态方程如下

$x(k%2B1)%3DAx(k)%2BBu(k)$

其中， $x(k)%3D%5Bx_1(k)%3Bx_2(k)%5D$ ，设置位置指令为r(k)，其变化率为dr(k)，则

$R(k)%3D%5Br(k)%3Bdr(k)%5D%2CR(k%2B1)%3D%5Br(k%2B1)%3Bdr(k%2B1)%5D$

为了预测k+1时刻的给定量，这里采用线性外推的方法，则

$R(k%2B1)%3D2R(k)-R(k-1)$

滑模面定义为

$s(k)%3DC_e(R(k)-x(k))$

其中， $C_e%3D%5Bc%20%5Cquad1%5D$ ，则

$s(k%2B1)%3DC_e(R(k%2B1)-Ax(k)-Bu(k))$

最后可以求得控制率为

$u(k)%3D(C_eB)%5E%7B-1%7D(C_eR(k%2B1)-C_eAx(k)-s(k%2B1))$

带入指数趋近律之后可得

$u(k)%3D(C_eB)%5E%7B-1%7D(C_eR(k%2B1)-C_eAx(k)-s(k)-%5Cvarepsilon%20Tsign(s(k))-qTs(k))$

仿真中

$A%20%3D%0A%20%20%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%20%20%20%201%20%26%200.001%20%5C%5C%0A%20%20%20%200%20%26%200.9753%20%5C%5C%0A%20%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D%0A$ ， $B%20%3D%0A%20%20%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%20%20%20%200.0001%20%20%5C%5C%0A%20%20%20%200.1314%20%5C%5C%0A%20%20%5Cend%7Barray%7D%20%7D%20%5Cright%5D%0A$