《虚数不虚》第八节 数形结合

我们来解一个简单的方程：

x³-1=0 

你也许会脱口而出：x=1，不错！

回顾第一部分，我们介绍了代数基本定理：任意一个多项式方程一定具有与其最高次数一样多的根。我们的方程的最高次数为3，所以此方程有3个根。

要找到剩下的两个根，你可以通过因式分解找到剩下两个根：

但今天，我们试着用复平面来重新认识这个问题：

“什么复数自己相乘三次等于1？“

让我们用极坐标形式将这个问题具体化。考虑复数1：它的模长为1，辐角为360°的整数倍。写成极坐标形式便是：

1∠n*360° n∈Ζ

根据复数相乘，模长相乘的性质。易知根的模长只能是1，因为只有1的立方是1。

接着我们求辐角，设要求的根的辐角为α。根据复数相乘，辐角相加的性质，我们有：

3*α=n*360° n∈Ζ

我们不妨选择n=1，于是α=120°。求出了模长和辐角，我们就得到了第二个根，1∠120°。在复平面中位于以原点为圆心，1为半径的圆（单位圆）的其中一个三等分点上。

我们把它转换为直角坐标形式。根据正弦函数，余弦函数的定义，1∠120°的横坐标、纵坐标分别对应于正弦函数与余弦函数在角度为α的值。所以：

1∠120°=cos120°+i(sin120°)=-1/2+(√3/2)i

我们来验证一下：

很酷，对吧？这便是数形结合的范例。现在还剩1个根没找出来。如果你留意刚才的过程，相信你已经猜到另一个根位于圆的另一个三等分点上，即1∠-120°（或1∠240°）：

让我们来验证一下：

[1∠-120°]³=(1³)∠3*(-120°)=1∠-360°=1∠0°

（或者[1∠240°]³=(1³)∠3*(240°)=1∠720°=1∠0°）

仿照上述做法，写成直角坐标形式便是1/2-(√3/2)i。于是，我们找到了这个方程的所有根：

1；-1/2+(√3/2)i；-1/2-(√3/2)i

我们领略了复平面的威力。这种方法不仅比代数方法直观省时，而且威力也不止于此：当我们把问题拓展到求xⁿ-1=0的所有根，在这种情况下因式分解不再适用，而复平面的方法仍然有效。我们只需从1开始对单位圆n等份，这n个等分点都是方程的根。写成极坐标式便是：

1∠k*(360/n)。（k=0,1,2,3,......,n-1）

这，就是单位根（Roots of unity）！

译者注：过了这个章节后，我们将领略到更加瑰丽的数学。这需要读者一定的数学基础。尽管我已经尽力去精简语句让读者理解，这一切还需要读者的热爱与身体力行。

如果您觉得我的文章有用，那便是我最欣慰的事！

拓展阅读

在这一节中，我们把复数的极坐标形式转化为直角坐标形式，用到了以下公式：

1∠θ=cosθ+i(sinθ)

我们考虑两个复数相乘的一般形式，设：

r₁∠θ₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁)

r₂∠θ₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂)

则根据复数乘法的性质：

(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂)=(r₁r₂)∠(θ₁+θ₂)

=(r₁r₂)[cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂)]

这便是棣莫弗公式，它是直角坐标系下对复数乘法性质的数学表述。

特别的：

[r∠θ]ⁿ=(r)ⁿ∠(nθ)

=(r)ⁿ[cos(nθ)+i[sin(nθ)]

我们利用这个公式回过头来解决卡丹的问题：

首先，我们把2+√-121和2-√-121写成极坐标形式：

2+√-121=2+11i≈11.1803∠79.6952°

2-√-121=2-11i≈11.1803∠-79.6952°

然后，我们分别对这两个数开立方根，根据复数的运算性质：

(2+11i)⅓=(11.1803)⅓∠1/3*(79.6952)≈2.2361∠26.5651°

(2-11i)⅓=(11.1803)⅓∠1/3*(-79.6952)≈2.2361∠-26.5651°

我们可以在图上把这两个点标出来，我们猜测：

(2+11i)⅓=2+i

(2+11i)⅓=2-i

注：(2+11i)⅓的意思是对(2+11i)，即(2+√-121)开立方根。

我们验证一下：

(2+i)³=2³+3*2²*i+3*2*i²+i³=(2³+3*2*i²)+(3*2²*i+i³)=2+11i

(2-i)³=2³-3*2²*i+3*2*i²-i³=(2³+3*2*i²)-(3*2²*i+i³)=2-11i

所以我们证明了上式成立。

最后，我们把这两个结果加起来：

(2+√-121)⅓ + (2-√-121)⅓ = (2+i)+(2-i)=4

我们便解决了卡丹的问题！这一切归因于我们对复数乘法性质的深入理解，才能通过数形结合的方式找到(2+√-121)和 (2-√-121)的立方根。

相信庞贝利看到你的解法一定会向你投以敬佩的目光！