计算物理基础-解方程（组）

       在解决物理问题时，我们通常引入一定数目的变量，根据已知条件建立方程、方程组，然后通过数学方法来求解。除了有求根公式的方程、线性方程组等，在多数情况下我们需要借助数值方法通过自洽迭代来处理，这里给出常用的库函数和迭代程序范例供参考。

（1）库函数roots和fsolve

       对于多项式求根，先初始化系数向量c，然后用roots函数即可。这里求解域是复数，对于x^3-x-1=0有3个根，其中一个是实数根，虚部为零。

     也可以用fsolve函数，对应的语法是fun = @(x) sqrt(x.^3-x-1); fsolve(fun,1)，返回结果为 1.3247，只有实数根。注意fsolve(fun,1)这里的1是初值，如果用fsolve(fun,0.5)将返回结果 -0.5774，并不是方程的根，因为迭代过程和初始值是相关的。

    这里p_1,p_2,x_1,x_2是4个未知数，对应x向量中4个分量，[rand,rand,rand,rand]是四个变量的初始值取了(0,1)之间的随机数，计算结果为 1.0000   1.0000  -0.5773   0.5773，是之前Gauss求积法里面待定系数的数值。

（2）牛顿法、割线法

       假定在x(k+1)时得到方程的解，泰勒展开得到x(k+1)和x(k)的递推关系，注意这里需要用到f(x)的导数。对于非线性方程组，此时导数用雅可比矩阵代替，除以导数，变成求雅可比矩阵的逆。在牛顿法中，用差分形式代替导数，对应的是割线法，需要用两个初始值。

（3）复数域的求根

       将函数拓展到复数域，限制实部和虚部范围都在(-2，2）之间。从任意的一点出发，通过牛顿法迭代，将演化到3个复数根之一，分别用不同的颜色表示。值得注意的是，初始值分布无法用简单的区域分割，在某些区域，两个相差很小的初值，经过迭代，可能收敛到不同的复数根，在平面上的分布有类似分形的结构。

附录：

A. 牛顿法解方程

clear

x(1)=-10;x(2)=x(1)-(x(1)^3-x(1)-1)/(3*x(1)*x(1)-1);

i=1;

while abs(x(i+1)-x(i))>0.001 

i=i+1; 

x(i+1)=x(i)-(x(i)^3-x(i)-1)/(3*x(i)*x(i)-1);

end

plot(x,'o-')

B. 割线法解方程

clear 

x(1)=1;x(2)=2;i=2;

while abs(x(i)-x(i-1))>0.01

f(i)=x(i)^3-x(i)-1;

f(i-1)=x(i-1)^3-x(i-1)-1;

x(i+1)=x(i)-(f(i)*(x(i)-x(i-1)))/(f(i)-f(i-1)); 

i=i+1; 

end