平面几何题目分享（4）

（写在前面凑字数）本题集主要由我比较喜欢的平面几何题目组成，也包括一定量改编或自编题。一期的内容暂定为：上一期解答＋本期题目。由于信息有限，部分题目可能无法标注出处，如有必要可联系我。题目难度基本会保持在高联难度，有时也会出现一些较简单或较困难的题。（本题集无任何教育功能或目的，仅供娱乐）

上一期解答

3，△ABC，BC>AC>AB，BD=BE=AC，圆（BDE）交AC于P，射线BP交圆（ABC）于Q。

求证：AQ+CQ=BP 

证明此题的方法有很多种，这里给出一种用到折弦定理的证法。

如图，设两圆交点为M，M为完全四边形密克点。我们得到CDFM，AEMF两组四点共圆。经过简单的倒角，得到蓝色角均相等。于是N为弧ABC的中点。（其实没什么用，但不知为何它就把我引导到了折弦定理的方向）（大雾）

取弧AC中点R，弧ABC中点N，作RH⊥AQ，由折弦定理，我们得到AH=CQ+QH。至此，我们只需证BP=2AH。

由∠CBA=∠CNA及CN=AN，得△CNA∽△DBE，所以⊙（CNA）与⊙（DBE）半径比即两三角形相似比。又因为AC=BD=BE，△BDE的腰与底的比同样是两圆半径比。注意到△ORA与上述两等腰三角形仍为相似关系，于是我们得到RA＝⊙（BDE）的半径

作GI⊥BQ，经过一些简单的倒角，不难发现，△ARH≌△BGI。于是AH=BI=1/2BP。

至此，我们便完成了此题的证明。

本期题目

4.如图，M，N分别为AB，AC中点，以BC为直径的圆交AB，CM，BN，AC于D，E，F，G。△FND的外心为O，△MEG的外心为P。求证：OAP三点共线。