一.引言

    本质：使用多项式仿造较复杂的函数，以便于研究其性质。

        （多项式性质简单，只需要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，就能求得其函数值）

        例子：在微分的应用中，当很小时，有如下的近似等式：

                                 

         在  处这两个一次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其倒数的相应值。

     

     

        用一阶多项式来近似表达了指数函数和对数函数，以便于简化对于后二者函数性质的研究。

二.公式来源

    核心思想：仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……

有一个解析式复杂的函数, 用n次多项式来仿造。

    ①在上任选一点切入进行模仿，为计算方便选择。

        由于是可以求n阶导的n次多项式，则易得其解析式形式为：

        

    ②初始点相同

            求得

    ③n阶导数相同

           求得 

    ④代入的值到解析式，得起点为0的公式：

        

        

以上推得的公式的起点选择为。如果任选某一起点，重新进行以上推导步骤，则可得模仿函数的一般公式（任意起点x=a）：

(相当于把自变量从换成了)

当n趋近于正无穷时，等号才成立。

这个公式被称为泰勒公式。作用：已知某复杂函数的某点的值以及其n阶导数值，用多项式来仿造该函数该点在内的某一段，以研究这个点附近的函数性质。

三.常用泰勒展开式推导（起点为x=0，即a取0；n趋近于正无穷）

    ①

        计算易得：

        代入进模仿函数的起点为0的公式，得：

        

    

    （不常用的：）

        由 , 把①式里的x换成xlna即可得：

        

    ②

        由：

        推得通项为：

        计算易得： 它们顺序循环地取四个数：0,1,0,-1 。观察可得：偶数项系数为0。令n=2m。

          (2m+1也可写为2m-1)

    ③ (同上原理)

        由：

        推得通项为：

        计算易得： 它们顺序循环地取四个数：1,0,-1,0。观察可得：奇数项系数为0。令n=2m。

        

    （还有个更简单的方法：cosx=sin’x，③可以通过②求导得到。）

    ④

        计算得：

        

         

        ...

        

        代入进模仿函数的起点为0的公式，得：     

    ⑤

       将α= -1代入④式，得： 

    ⑥

        将⑤中x替换为-x，得：

        （也可以通过等比数列求和公式得到）

    ⑦

        对⑤进行积分，得：

    ⑧

        将⑦中x替换为-x，得：

进一步延伸：

     或 ，它们的模仿函数可以分别让④式里的α取1/2或 -1/2 得到；

     可以通过 的积分得到，而后者通过把⑤中x替换为x的平方得到；

    由 ，代入①得其模仿函数，shx同理；

    ……

四.余项的处理

（目前来说用处不大，暂不细讲）

n不趋近于正无穷时，存在误差。设误差值为，则有：

参考资料：

https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784 知乎用户P17e01

《高等数学》 第七版 上册 同济大学数学系