本文译自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻译：野吕侯奈因
仅供学习交流使用
译者按：
       本书在几何爱好者之间小有人气，但目前网上只能找到一些零散的翻译．鉴于目前通行的数学教学中对于二次曲线问题的处理方式过于单一，希望能借翻译本书的机会来推广一下二次曲线的射影几何视角．

1.7. 抛物线的奇妙性质

在本节中出现的指代的都是抛物线的焦点．

       让我们从一个将会不止一次地用到的引理说起．

引理1.1. 抛物线的焦点关于一切线的对称点会落在准线上，准确地说是切点在准线上的投影（图1.24）．

证明. 设直线切抛物线于点且为在准线上的投影．由于为等腰三角形而为的角平分线，有为该三角形的对称轴．故有在上的对称轴落在准线上．

推论. 抛物线的焦点在其切线上的投影会落在该抛物线在其顶点处的切线上．（图1.25）

引理1.2. 设抛物线在点和处的切线交于，则有为的外接圆圆心，其中和分别为和在准线上的投影．

证明. 由引理1.1，两切线分别为和的中垂线．那么其交点自然为的外接圆圆心．（图1.26）

推论. 若抛物线在点和处的切线交于，则有在准线上的投影平分和在准线上的投影所连线段．（图1.27）

       下述定理与定理1.2和1.5很相似，只不过将椭圆换成了抛物线．我们要回答这个问题：关于一抛物线的视角为直角的点的集合长什么样子．

定理1.7. 关于一抛物线的视角为直角的点的集合即为抛物线的准线．更进一步，若与都与抛物线相切，则有过，且为的高（图1.28）．

证明. 若落在准线上，而设和分别为和在准线上的投影．那么自然有（由其关于的对称性）．故有，同理，有．那么就有．而显然这是满足此条件的唯一点．

       由于对于其他的圆锥曲线也有类似的结论，所以上述定理看起来还是比较自然的（译者注：见本书1.4(CV25716024)）．但此定理的开头部分却有着意料之外地只属于抛物线的推论，且将会被运用到3.2中弗雷吉尔定理(Frégier's theorem)的证明中．

定理1.8. 关于抛物线的视角为或的所有点的集合为一条以为焦点，为准线的双曲线（图1.29）

证明. 首先，设由向抛物线引两切线和夹角为．姑且先来考虑的情况．

       设与分别为和分别为和在准线上的投影．那么显然有（译者注：由引理1.1，有，，故有四点共圆，如此该结论便是显然的了）．而由引理1.2，有为的外接圆圆心，故有．

       因此到准线的距离为且有落在一条焦点和准线与抛物线重合的双曲线上，而其离心率等于（即其两渐近线的夹角等于）．

       而当两切线夹角为时上述过程仍然成立．进一步地说，当一条抛物线落在两切线所夹的锐角之内时，位于距所在支“更远”的双曲线支上；而当抛物线落在两切线所夹的钝角之内时，则位于距所在支“更近”的双曲线支上．

（译者注：对于成锐角的情况其直观形式则如图o所示．）