二次函数面积最值问题思路

通常在遇到以下问题

我们直接看第二问的标答

  

那么，我们能否从另一角度思考这个问题

题目要求使ΔDCA面积最大，即D到直线AC距离的最大值。

那么我们不妨过D作AC的垂线

从图中，我们观察得到结论，当平行AC且过D点的直线与抛物线想切时，AC到D的距离最大

 

那么我们如何找到这个D坐标呢？？

显然D点所在的直线与直线AC的斜率相等，我们不妨从这里入手

我们在D点所在抛物线附近任意取两点，记作E、G

因为三点的距离非常短，在这段曲线我们可以近似看成直线（你可以想想地球是圆的，而路却是平的，原因同理）

过E、G两点，分别向x、y轴作平行线，交于点F

EF距离设为Δx，GF距离设为Δy（因为两点距离非常非常小！）

我们可以得到以下关系式

利用函数解析式y=2x^2+5x+2 ，代入关系式，化简并整理

继续代入化简、约分

做到这里，我们得到了关于斜率k与x的关系式，可是有一个Δx很麻烦，我们不喜欢它，那么我们就把它去掉

原式变成k=4x+5，我知道很多人在这里会有疑惑？

为什么Δx可以直接忽略，在目前初高中阶段无法准确证明，读者可以理解为ΔX非常非常小，小到甚至可以忽略不计（考试千万不要这样写过程，只是思想方法而已）

易知k=1，代入关系式解得x=-1，y=-1

 

从上题中，我们学习了一种思想，极限逼近的思想，21年广东中考最后一题利用这种思想可以快速出答案

并且，我们把这种方法推广到一般二次函数，得到以下公式

k为抛物线上某点x与该点切线的斜率，该公式故不做证明，有兴趣读者可自行证明

 

 

 （封面是错的，我随便贴张图上去而已！）