利用向量的投影解题（2017课标Ⅱ圆锥曲线）

2022-08-16 14:15 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2017课标Ⅱ，20）设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2By%5E2%3D1$ 上，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，点 $P$ 满足 $%5Coverrightarrow%7BNP%7D%3D%5Csqrt%7B2%7D%5Coverrightarrow%7BNM%7D$ .

（1）求点 $P$ 的轨迹方程；

（2）设点 $Q$ 在直线 $x%3D-3$ 上，且 $%5Coverrightarrow%7BOP%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPQ%7D%3D1$ ，证明：过点 $P$ 且垂直于直线 $OQ$ 的直线 $l$ 过 $C$ 的左焦点 $F$ .

解：（1）设点 $N$ 、 $P$ 、 $M$ 的坐标分别为

$%5Cleft(%20x_0%2C0%20%5Cright)%20$ 、 $%5Cleft(%20x%2Cy%20%5Cright)%20$ 、 $%5Cleft(%20x_0%2Cy_0%20%5Cright)%20$ 、

由题可知 $%5Cleft(%20x-x_0%2Cy%20%5Cright)%20%3D%5Csqrt%7B2%7D%5Cleft(%200%2Cy_0%20%5Cright)%20$ ，

即 $%5Cleft(%20x-x_0%2Cy%20%5Cright)%20%3D%5Cleft(%200%2C%5Csqrt%7B2%7Dy_0%20%5Cright)%20$ ，

所以 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09x-x_0%3D0%2C%5C%5C%09y%3D%5Csqrt%7B2%7Dy_0%2C%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

所以 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09x_0%3Dx%2C%5C%5C%09y_0%3D%5Cfrac%7By%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%2C%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

因为 $M$ 在椭圆 $C$ 上，

所以 $%5Cfrac%7Bx_0%5E2%7D%7B2%7D%2By_0%5E2%3D1$ ，

所以 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7By%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%5Cright)%20%5E2%3D1$ ，

化简得 $x%5E2%2By%5E2%3D2$ ，

此即点 $P$ 之轨迹方程.

（2）先画图

设直线 $l$ 与直线 $OQ$ 交于点 $H$ ，与 $x$ 轴交于点 $G$ ，直线 $x%3D-3$ 与 $x$ 轴交于点 $T$ ，则

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Coverrightarrow%7BOP%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BPQ%7D%26%3D%5Coverrightarrow%7BOP%7D%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Coverrightarrow%7BOQ%7D-%5Coverrightarrow%7BOP%7D%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%3D%5Coverrightarrow%7BOP%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BOQ%7D-%5Coverrightarrow%7BOP%7D%5E2%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cleft%7C%20OH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20OQ%20%5Cright%7C-%5Cleft%7C%20OP%20%5Cright%7C%5E2%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cleft%7C%20OH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20OQ%20%5Cright%7C-2%3D1%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以 $%5Cleft%7C%20OH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20OQ%20%5Cright%7C%3D3$ .

因为 $%5Cbigtriangleup%20OGH%5Ctext%7B%E2%88%BD%7D%5Cbigtriangleup%20OQT$ ，

所以 $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20OG%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OQ%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20OH%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OT%20%5Cright%7C%7D$ ，

所以 $%5Cleft%7C%20OG%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20OH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20OQ%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OT%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B3%7D%3D1$ ，