Strongart数学笔记：如何理解仿紧空间

    同学们在学点集拓扑学的时候，经常会觉得仿紧空间（paracompact space）这个概念比较难理解，希望这篇文章能对他们有一些启发与帮助。

  先看基本定义，通常仿紧这个性质被定义在Hausdorff空间上。设X就是Hausdorff空间，它称为仿紧的，若其任何开覆盖都有局部有限的加细。其中有两个概念需要进一步解释，一个是局部有限（locally finite），还有一个是覆盖的加细（refinement）。

  1）空间X的子集族是局部有限的，若对任何x∈X，存在包含x的开集U，使得U仅与其中有限个子集相交。

  2）设W是集合X的覆盖，覆盖V加细覆盖W，若对任何V∈V，存在W∈W，使得V≤W. 

  覆盖的加细实际上就是把覆盖精确化，消除重复的覆盖片，再尽可能的缩小，这样得到的性质才是最有价值的。

  显然，有限覆盖一定是局部有限的，因此紧空间一定是仿紧的，但反之不然。

  通常的实数空间R是仿紧空间，但它有非仿紧的开覆盖{(-n, n)}(n=1,2,...)，这个覆盖在任一点上都没有局部有限性。我们可以把它加细为局部有限的开覆盖(-1, 1)∪(-2, -1+a)∪(1-a, 2)∪(-3, -2+a)∪(2-a, 3)∪…，其中a=0.1.

  实际上，仿紧性的核心就是局部有限性，把紧性定义中的有限覆盖削弱为局部有限，但仍能够保持很多良好的结论。

  局部有限性的直接效果就是保闭性，它使得并集的闭包就是闭包的并。也就是说，这些集合只是一个拼盘，不会通过族性质增加额外的聚点。反之，若是存在x∈cl（∪U_i）\∪cl（U_i）,则x的邻域不会只和有限个U_i相交，因为有限不会导致（非平凡）极限！具体来说，考虑一族包含{1/n}的集，它有聚点0，那么它在点0就不具有局部有限性。

  由此可推出：仿紧Hausdorff空间一定是正规的，这是一类良好的空间，其上可以有Tietze扩张定理，Urysohn引理等。

  类似紧Hausdorff空间的情形，可以先证它是正则的：设X是仿紧Hausdorff空间，Z是X的闭子集，x∈X\Z，对任何z∈Z，都存在包含z的开集U_z，使得 x∉ cl（U_z），这样可得X的开覆盖为：X\Z与所有U_z（z∈Z）的并，它有局部有限的加细覆盖U，U中与Z相交部分的并U包含Z，但由保闭性，x ∉ cl（U），故X是正则空间。重复上述步骤，可得X是正规空间。

  可以证明，可度量空间一定是仿紧的。由此可得，（满足第二可数公理的）光滑流形是仿紧的，其上有著名的单位分解定理（参见【3】）.

  事实上，对于仿紧空间，我们有拓扑版的单位分解定理（参见【1】或【4】）。设{U_i}是仿紧Hausdorff空间X的任意开覆盖，则存在连续函数f_i：X → [0,1]，满足：

  1）supp（f_i）≤ U_i，对任何i，

  2）{supp（f_i）} 的局部有限的，

  3）Σf_i = 1，对任何x.

  更一般的结果是Smirnov可度量性定理：空间是可度量的 iff 它是仿紧且局部可度量的（参见【1】或【2】）。

   扩展阅读：

  【1】Munkres J R. Topology[J]. 2000. （内容丰富的拓扑学教材，包括对仿紧空间的基本讨论，本文主要参考书）

  【2】儿玉之宏, 永见启应, 方嘉琳（译）. 拓扑空间论[M]. 科学出版社, 2001. （拓扑空间理论的专著，对仿紧空间有深入讨论）

  【3】张筑生. 微分拓扑讲义[M]. 北京大学出版社, 1996. （简明的微分拓扑教材，包括仿紧空间在微分流形上的应用）

  【4】Cutler T. Paracompact Spaces[J]. 2020. （仿紧空间的简明小结，对于一般应用足够了）