实变函数漫谈(7)单调类和σ环

2023-06-22 05:13 作者:南海之声sonnet耳放 0人读过 | 我要投稿

已经讲了环和σ环这两种集类，那么再引入一个单调类——对单调集合列的极限封闭，可以用单调类对σ环进行刻画。首先容易发现σ环必须是单调类，那么单调环是不是σ环呢，其实也是显而易见的。所以一个重要的定理就是 $S(R)%3DM(R)$ ,这个定理告诉我们虽然对于任何集类 $E$ ,不存在 $S(E)%3DM(E)$ ,但是可以先取 $R(E)$ ，就会有 $S(R(E))%3DM(R(E))$

要证明定理就要证明 $M(R)$ 是一个环，因为单调环必然是σ环，所以 $M(R)$ 是σ环，所以 $M(R)%5Csupset%20S(R)$ ,反过来由于 $S(R)$ 是单调类，因此 $S(R)%5Csupset%20M(R)$ 。那么问题就是如何证明 $M(R)%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%8E%AF%E3%80%82$ 证明的困难性在于我们不知道如何描述 $M(R)$ 的元素，所以需要想办法把它变成另一个以具体方式定义的集类。取任意 $A%5Cin%20R$ ,考虑这个集合， $K(A)%3D%5Clbrace%20B%5Cin%20M(R)%3AA-B%2CB-A%2CA%5Cbigcup%20B%5Cin%20M(R)%5Crbrace$

容易证明它是单调类，因此是包含 $R$ 的单调类， $K(A)%3DM(R)$ ,这说明： $M(R)%E4%B8%AD%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%92%8CR%E4%B8%AD%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E8%BF%90%E7%AE%97%E9%83%BD%E5%9C%A8M(R)%E4%B8%AD%E5%B0%81%E9%97%AD$