[翻译]锥线几何(Geometry of Conics)第一章：二次曲线的诸基本性质1.2

2023-08-09 19:39 作者:瀰㴉夃 0人读过 | 我要投稿

本文译自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.

翻译：野吕侯奈因

仅供学习交流使用

译者按：

本书在几何爱好者之间小有人气，但目前网上只能找到一些零散的翻译. 鉴于目前通行的数学教学中对于二次曲线问题的处理方式过于单一，希望能借翻译本书的机会来推广一下二次曲线的射影几何视角.

1.2. 解析几何定义与二次曲线的分类

在先前的章节我们介绍了椭圆、抛物线以及双曲线这些具体的二次曲线．现在我们就来说明除它们外再没有其他的二次曲线了．

定义. 在笛卡尔坐标系中坐标满足以下二次方程：

$%5Ctag%7B1%7Da_%7B11%7Dx%5E2%2B2a_%7B12%7Dxy%2Ba_%7B22%7Dy%5E2%2B2b_1x%2B2b_2y%2Bc%3D0$

的点的集合被称作二次曲线．

若方程(1)左侧可写为两个线性因式的乘积的形式，则该曲线表示两条直线（可重叠）的并集。此时称该曲线为退化的(degenerate)．如果一曲线只包含一点（例如 $x%5E2%2By%5E2%3D0$ ），此时也称该曲线为退化的。

（译者注：实际上，两条直线的并集可以被视为双曲线的一种极限情况．几何上理解就是平面过顶点以某个角度截圆锥时得到的图形，而将平面继续旋转一定角度就会出现一个点的形式．）

当然想必大家也都知道在解析几何中对于坐标系中非退化的二次曲线有更简洁的表示方式．让我们先来梳理一下这种表示方式背后的中心思想．

首先，将坐标系旋转某个角度 $%5Cphi$ ．这意味着在方程(1)中的 $x$ 和 $y$ 将分别被替换为 $x%5Ccos%5Cphi%2By%5Csin%5Cphi$ 与 $-x%5Csin%5Cphi%2By%5Ccos%5Cphi$ ．选取一个适当的 $%5Cphi$ ，就能使得 $xy$ 项前的系数为零．接下来我们来将坐标原点移至 $(x_0%2Cy_0)$ 的位置．也即替换 $x$ 为 $x%2Bx_0$ ， $y$ 为 $y%2By_0$ ．选取一个适当的 $(x_0%2Cy_0)$ ，就能将(1)转化为(I)、(II)或是(III)的形式．

计算表明，形如

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1%5Ctag%7BI%7D$

的曲线为椭圆，其中心在坐标原点处，焦点为 $(%5Cpm%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%2C0)$ ，且长半轴长和短半轴长（即长轴和半轴长度的一半）分别等于 $a$ 和 $b$ ．特别地，当 $a%3Db$ 时，椭圆(I)也是一个圆．

形如

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1%5Ctag%7BII%7D$

的曲线为双曲线，其交其实轴于距离为 $2a$ 的两点， $a$ 和 $b$ 分别被称为双曲线的实半轴长和虚半轴长，直线 $%5Cfrac%20x%20y%3D%5Cpm%20%5Cfrac%20a%20b$ 为其渐近线，焦点为 $(%5Cpm%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%2C0)$ ．当 $a%3Db$ 时，双曲线(II)为等轴双曲线．

形如

$y%5E2%3D2px%5Ctag%7BIII%7D$

的曲线为抛物线，其轴与 $x$ 轴重合，焦点为 $(%5Cfrac%20p%202%2C0)$ ，准线为 $x%3D-%5Cfrac%20p%202$ ．

形如

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D-1%5C%5C$

的曲线叫做虚椭圆(imaginary ellipse)，其上不包含实点．

在后文中，除非作特殊说明，二次曲线皆是非退化且非虚的．

习题1. 求证方程 $y%3D%5Cfrac%201%20x$ 图象为双曲线，并求出其焦点．

（以下内容摘自本书第五章：习题解答）

首先该方程表示了一个二阶曲线，因为原方程可化为 $xy%3D1$ 的形式．其次注意到

$xy%3D%5Cfrac%201%204%20((x%2By)%5E2-(x-y)%5E2)%2C%5C%5C$

令 $%5Cxi%20%3Dx%2By$ ， $%5Czeta%3Dx-y$ 可将原方程写为双曲线

$%5Cfrac%20%7B%5Cxi%20%5E2%7D%204-%5Cfrac%20%7B%5Czeta%20%5E2%7D%204%3D1%5C%5C$

的形式．

（译者注：提示： $x%2By%3Dx%5Ccos%2045%5E%5Ccirc%20%2By%5Ccos%2045%5E%5Ccirc$ ， $-x%2By%3D-x%5Csin45%5E%5Ccirc%2By%5Ccos%2045%5E%5Ccirc$ ．）

接下来求焦点．设 $X$ 沿着双曲线向无穷远处移动，则有 $F_1X$ 与 $F_2X$ 趋近于平行，故有 $%5Cvert%20F_1X-F_2X%5Cvert$ 的值等于线段 $F_1F_2$ 在 $Ox$ 上的投影，同时也等于该双曲线的实轴长 $2%5Csqrt2$ ．注意到 $F_1F_2$ 与 $Ox$ 的夹角等于 $45%5E%5Ccirc$ ，于是有 $F_1F_2%3D2%5Csqrt2%5Ccdot%5Csqrt%202%3D4%20$ ．故有 $OF_1%3DOF_2%3D2$ ，因此 $F_1$ 坐标为 $(%5Csqrt%202%2C%5Csqrt%202)$ ， $F_2$ 坐标为 $(-%5Csqrt2%2C-%5Csqrt2)$ ．