雷姆定理

在网上，我尝试找雷姆的个人生平，我发现这个资料挺少的。在一个偶然的机会，在一个法国的网站上找到了雷姆的个人生平。

由于内容都是法语，因此我们用微软翻译将之翻译为中文，大致上了解了此人的生平，将翻译结果也显示在这里。

安东·雷姆(Anton Reim)

安东是温泽尔·雷姆(Wenzel Reim)和弗兰齐斯卡·肖特(Franziska Schott)的儿子，1832年10月6日出生在波西米亚的一个小镇格罗索切豪，距离布拉格约100公里。

青少年时期，他就读于波德尔萨姆中学，然后转学到萨兹中学，在那里展现出对数学的真正才能，后来前往柏林学习数学。

约在1860年代前往圣彼得堡学习，后来成为布拉格的一名教授，于1866年1月结婚。他对几何学的热情从未消退，尤其是在以三角形几何学为核心的几何学焕发出新生的时期。

他对圆的美着迷，曾在一篇简短的论文中阐述了自己的哲学思想，其中呈现了今天以他名字命名的迷人的双生图形。他还因其音乐才华而著名，擅长演奏大提琴，并成为一支穿越欧洲的乐团的指挥。

晚年时，他回到了父亲留给他的戈罗索切豪农场，担任农场经理。他于1922年1月23日在自己的土地上去世。

雷姆定理(Reim's therorem)

设,是相交于点,的两个圆。过点的直线与,分别于点,相交。设,分别是,上的点。当且仅当共线于一条直线上时，有。

证明

倘若时，容易得到，这个交由观众证明。

倘若与相交于点，不妨设为点在圆的一侧，如图所示。

连接,,显然我们有

这样，我们就有

这样，我们就得到了

因此，我们得到如下等式成立。

有圆幂定理，我们得到

因此

这样，我们就能得到

显然，将以上的证明过程导过来，我们就能证明雷姆定理的逆定理。

这个定理虽然简单，但是却很强大，接下来，我们给一个例题，该例题就是2023年IMO的第二题，我们尝试使用雷姆定理进行证明。

2023年IMO第二题

在锐角中，,是外接圆，是弧的中点。过作的垂线交于点,交于点。过做的平行线交直线于点,设的外接圆与交于另一点。

求证:在处的切线与直线的交点在的平分线上。

证明

设点为以圆的圆心,为以为中心的对称点，为以为中心的对称点。

过点做圆的切线交圆于点。

首先，显然,

因此，我们可以得到,

即可以得到

由Reim定理逆定理，我们显然可以得到共线。

切点可以看做两个相同的点，由Reim定理，我们可以得到。

这样，在 与,显然有

有笛沙格定理，我们容易知道,,三线共点或者三线平行。

而三线平行是不可能的，因此只能三线共点。

这样我们就证明了该问题。

我们发现，巧妙的利用雷姆定理，可以很方便的解决竞赛难题。