【崩坏3】从数学角度分析:新年氪金出货的概率究竟有多大?
崩坏3情报室
文：kgs 排版：烟焰
Hello,情报室的各位粉丝舰长们，大家晚上好！这里是划水已久终于憋出个大招的kgs。
又是一年春来到，在此新春佳节之际，大伟哥为大家送上一份大礼——首冲重置！与此同时，又安排了三次扩充和七个春节精准池。所以说，为了大家能够更合理的氪金和更多的出货，这次就由我来给大家献上这份干货。
首先，一说到崩崩崩抽奖，这关键的部分就是保底机制了。
①如何从数学角度来理解“保底”呢？
我中科大的学长给出了答案，即在理想条件下，有保底机制的抽卡属于 Markov 随机过程。
（这些是Axpomeeb学长提供的技术指导，在此表示感谢。）
简单来说，前者的状态会传递给后者并影响后者的值。用正定、归一的 N 维概率向量a描述某时刻玩家所处的状态分布，k 分量表示此状态分布下玩家处于 k 状态的概率。显然，每次抽卡都会导致概率向量变化，因此可以将抽卡行为视为对概率向量的变换操作：a’=M*a。在理想条件下，概率向量的变换是线性的，故可以用转移概率矩阵描述，且形式为 Leslie 矩阵。经过推导可知，当想要抽取蛋池中某个目标紫卡（比如扩充抽月光、精准抽犹大、标配抽神恩）时，随着抽卡次数 n 增加，抽中目标的概率 r=f(n)也会增加。
②如何计算函数 f(n)？
为此，状态除了记录保底信息的指标 k 外还应增加一个布尔型变量——是否已经抽到了目标紫卡。两者合成形成 2N 个状态，用正定、归一的 2N 维概率向量b（Un， Vn）来描述。其中 u 表示尚未抽到目标紫卡的 N 个状态，v 表示已经抽到目标紫卡的 N 个状态。
抽卡依然视为线性变换b’=Lb。这样，原则上就得到了问题②的解析解。事实上转移矩阵 L 的幂的表达式很复杂，因此在实际运用中往往进行数值计算。
（综合概率）
（变化矩阵一）
（变化矩阵二）
理论的部分就说到这里，接下来解决实际问题:
特别提醒：以下概率仅供参考，玄学妙不可言。
经典问题一：
“30连正好一套”是什么级别的概率?
答，0.02246793043010416
平均1500发能见到一次，也不是很多嘛，大家可以满怀信心地尝试。
经典问题二：
我想强氪up武器，要多少发，才能有较大可能出货呢？
结果十分令人惊喜:
10=0.314
20=0.474
30=0.611
40=0.715
50=0.791
60=0.847
70=0.888
80=0.918
90=0.940
100=0.956
100连则有92%的概率，从统计学意义上也是基本必出了。
但是需要注意的是，40连到80连，氪金数增长了一倍，出货率的增长却并不是很令人满意。
经典问题3：
强氪up圣痕的某一件，如艹猫上的出货率是多少？
10=0.143
20=0.248
30=0.347
40=0.434
以上10~40连概率基本呈线性增长
50=0.509
60=0.574
70=0.630
概率终于突破0.6，但增长速度开始回落，心态逐渐暴躁
80=0.679
90=0.722
100=0.759
0.241的天选之子，心态核爆。
所以说，即使是100连，3000r，也有近四分之一的可能性失手，让我们继续抽下去
150=0.881
200=0.941
请务必理性氪金
请务必理性氪金
请务必理性氪金
经典问题4：
我究竟怎么样才能拿到一套圣痕?
我们可以先从数学上定性分析一下公式：
当基数越小，越不可能成套；
当基数越大，越可能成套；
而且，无论基数有多大，永远有超过-“三分之一”-的概率你就是凑不齐一套
（米忽悠你再晚出许愿池一点，大家就真的受不了了）
那么我们开始计算，这次我们30抽起步200抽停手！
10=0.012
20=0.025
30=0.048
40=0.08
50=0.101
60=0.133
70=0.165
80=0.203
90=0.248
100=0.311
110=0.344
120=0.363
130=0.386
200=0.455
300=0.498
很明显，强氪非酋大佬已经凉了
他万万没有想到，自己居然死活出不了一套圣痕。
他叫骂着：”仓检！仓检！垃圾米忽悠!”,一边悻悻而去。
但他所不知道的是，其实强氪凑齐一套就是这么难的事
1年前,强氪沙皇套的大佬能给你拿出2排上2排下和一个中。
经典误区———仓检
有大佬说到：有上下就是没有中，一定是米忽悠的阴谋！！！
经过这番计算，我们基本可以认为这是一种错觉了。
根据实际经验，大家可以选择是否相信米忽悠会设计算法帮你凑齐一套。
也许有同学觉得:诶?似乎没这么难吧?
错觉!那是因为垃圾屋和新出的许愿系统的原因.。想想你花了多少共鸣！
曾经有个仓鼠王屯了16w水一波抽，依然不得已中途使用许愿池，大家可以在b站上观摩感受一下。
我们可以看图来直观地理解一下概率分布情况：
但事情也没有那么糟糕，如果算上许愿池的存在，120连有较大可能凑齐一套。
经典问题5:
扩充抽到s乃至sss的概率？
首先让我们来看看把它们拿到手的概率预期。
综合率1.5%，略高于单件圣痕，扩充的单抽率又要重新算，近似估计一下
10=0.152
20=0.265
30=0.371
40=0.460
（第一发648。）
50=0.539
60=0.611
70=0.676
80=0.73
（第二发648。）
90=0.798
100=0.811
大家可以看到，以1~2发648来战神恩，还是非常有希望把老婆抱回家的。
那么，大佬想抽到sss，共计11个神恩，怎么办？
这次我们应该换一个计量单位——百发！！！
100发出sss神恩
=3.59*10^（-14）
让我们跳过200发和300发
400=0.041
500=0.135
600=0.300
700=0.477
800=0.643
900=0.757
1000=0.801
大佬们传言中的3wR一个初始s变sss果然不是无中生有的！数学真是太厉害了！
那么，我们最后做一下总结。
以上讨论的都是“未抽”时的预期概率，如果你真的100抽没出货，那么此时你已经属于“非洲”的一列，万不能认为下个十连就是逆天改命之机。这些概率的正确理解方式是“准备多少水晶才有较大概率不打水漂”。对于神池和毒池，鉴于篇幅原因，只能做出简易结论——是几何倍数的相差，请大家认真考虑up外是什么以及up内有没有像牛顿中这样的优质共鸣。
感谢大家的认真阅读，希望大家合理氪金，适度游戏，享受跟女武神的每一天。
ps:过程并非精确计算，仅供参考。
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