《几何原本》命题6.1【夸克欧氏几何】

命题6.1：

等高的三角形或平行四边形的比等于它们底的比

已知：△ABC，△ACD，▱ACBE，▱ACDF，它们的高相等

求证：S△ABC：S△ACD=S▱ACBE：S▱ACDF=BC：CD

解：

延长DB至点H，使BG=GH=BC

（公设1.2＆命题1.3）

延长BD至点L，使DK=KL=CD

（公设1.2＆命题1.3）

连接AC，AH，AK，AL

（公设1.1）

证：

∵BG=GH=BC

（已知）

∴S△ABC=S△ABG=S△AGH

（命题1.38）

∴S△ACH：S△ABC=CH：BC

（命题5.18）

同理可证，S△ACL：S△ACD=CL：CD

∴如果CH＞CL，那么S△ACH＞S△ACL

如果CH=CL，那么S△ACH=S△ACL

如果CH＜CL，那么S△ACH＜S△ACL

（命题5.21）

∴BC：CD=S△ABC：S△ACD

（定义5.5）

∵S▱ACBE=2S△ABC，S▱ACBE=2S△ACD

（命题1.41）

∴S△ABC：S△ACD=S▱ACBE：S▱ACDF

（命题5.15）

∵BC：CD=S△ABC：S△ACD

（已证）

∴BC：CD=S▱ACBE：S▱ACDF

（命题5.11）

证毕

此命题将在接下来的命题中被大量使用

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