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单输入单输出的Filippov Solution

2023-04-02 01:37 作者:XernicRose  | 我要投稿

引入

对于系统

fig1.非连续的系统方程

,假设函数f对于状态向量不连续。此时经典的微分方程理论现在不适用,因为Lipschitz assumptions 通常被用来保证唯一解的存在。对于右边不连续的微分方程,Filippov提出的解的概念将解构造为从不同方向接近不连续点得到的解的“平均值”。

介绍

    令S为x的状态空间的一个曲线(也可能是曲面,下面统称曲线)定义如下:

fig2.S曲面定义

    f_%7Bn%7D%5Ec%20(x_%7B0%7D)f_%7Bp%7D%5Ec%20(x_%7B0%7D)f%5Ec%20(x)在x0处的从相反方向接近S曲线的切线,可以将上述的fig1中非连续微分方程改写为如下形式:

fig.3改写后的非连续微分方程

        Fillipov的构型如下所示:

fig4.Fillipov构型

    通过选取合适的α,即可得到该点的导数值f_%7Ba%7D%5Ec%20(x_%7B0%7D)

fig5.S曲线的切线

    从上面的讨论可以清楚地看出,Filippov solution是两个“速度”向量在点x0处的平均解。此时x(t)的微分方程的右边被定义为凸集:

fig6.x的从属凸集

    结合S曲面的定义,令%5Csigma%20(x)%3DSxS%5ET%5Cin%20R%5En%20

fig7.引入了dx

    此时,结合S的定义,为了维持%5Csigma%20(x)%3D0,则要求

fig8.维持0的条件

    得到α

fig9.α精确解

    因此可以得到非连续微分方程的确切解:

fig10.得到导数的精准值

意义

    很明显,1、可以描述非光滑的系统行为;2、在滑模控制中,常引入非连续的控制,这会使得原状态方程变得非连续,结合滑模的sliding surface,这个问题的分析可以被解决。暂且这么多,欢迎各位讨论和指导。


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