发、散、发散，聚合思维与发散思维，数列极限的唯一性 、有界性

牛顿216、发、散、发散，聚合思维与发散思维，数列极限的唯一性 、有界性

 

数列极限

…数列：见《牛顿210~213》…

…极、限、极限：见《欧几里得178》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

定义 数列{an}，a为定数。

若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n＞N时有/an-a /＜ε，则称数列{an}收敛（liǎn）于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作：

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…

…N：自然数（Natural number）英文单词首字母，见《牛顿214》…

…收、敛、佥、收敛：见《牛顿215》…

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额（地区或地方的）境界，界限，范围

v.限制；限定；限量；减量…]

 

几何意义

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

 

当n>N时，所有的点xn都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有N个）在其外，如图所示

“可以这样理解：当n>N时，所有的点xn 和a的距离，都小于ε；只有有限个（至多只有N个），和a的距离大于ε。”中学生说。

 

 

若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}发散。

…发：见《伽利略21》…

（…《伽利略》：小说名…）

…散：见《牛顿137》…

…发散（汉语词汇）：1、指[光线等]由一点向四周散开；

2、中医指用发汗的药物把体内的邪气散出去…

…发散（数学分析术语）2：在数学分析中，与收敛相对的概念就是发散…

（…数、学、数学：见《欧几里得49》…

…分、析、分析：见《欧几里得36》…
…术、语、术语：见《欧几里得67》…
…相、对、相对：见《欧几里得69》…

…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…）

 

…发散（思维模式）3：发散是一种思维模式，称为发散思维。

（…思、维、思维：见《欧几里得22》…

…模、式、模式：见《欧几里得168》…）

 

这里所说的发散性思维是指与集中思维相对的一种思维方式。

发散思维对问题从不同角度进行探索，从不同层面进行分析，从正反两极进行比较，因而视野开阔，思维活跃，可以产生出大量的 独特的新思想。

（…思、想、思想：见《欧几里得154》…）

 

集中思维是指人们解决问题的思路朝一个方向聚敛前进，从而形成唯一的、确定的答案。例如7+4=11，这就是聚合思维。而如果问：“还有哪些数相加也为11呢？”这就有多种结论，这就是发散思维，这种思维更利于创造性思维的培养…

（…结、论、结论：见《欧几里得66》…
…创、造、创造：见《欧几里得152》…

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…）

 

…发散（百度汉语）4：1.（光线等）由某一点向四周散开：凹透镜对光束起～作用。～性思维。

2.中医指用发汗的药物把体内的热散出去，以治疗疾病…

 

等价定义：任给ε>0，若在(a-ε,a+ε)之外，数列{an}中的项至多只有有限个，则称数列{an}收敛于极限a。

 

性质

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

 

唯一性 

若数列{an}收敛，则它只有一个极限。

 

有界性

若数列{an}收敛，则{an}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n，有/an/≤M。

 

“函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。

请看下集《牛顿217、函数极限》”

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