0-Y序列，是一种简单又强大的序数记号，几乎是googologists成长的必经之路，使用一个有限项的正整数组来表示序数。

本文约5500字

目录：
1：概述
2：PrSS
3：父项与阶差
4：递归展开
5：分析
6：0-Y的本质

1：概述

0-Y诞生于2020年，是第二个差分序列记号，产生于对Y序列的简化和弱化。Bashicu矩阵系统(BMS)是最早的序列记号，现在绝大多数的序数分析都使用BMS作为标尺，而0-Y可以直接与BMS互相翻译。对人而言，BMS比0-Y稍难，除此之外的相同强度记号，如SSS、BSM、DLON、?MS、CHN、HIUN、KPrSS、LRTIN等，都远难于0-Y；不过对计算机而言，BMS比0-Y更简单。

0-Y用1开头的自然数组表示序数，在1,3之前，0-Y和PrSS（PrSS可译作原始序列、基本序列、初等序列等）相同；而在1,3之后，0-Y使用阶差进行展开。

由于大数wiki上找不到严谨的0-Y定义，以下是我自己写的0-Y定义（这里跳过就行）

本文主要介绍0-Y的展开方式，考虑到0-Y学习者的序数理解能力，分析只作为次要内容。

2：PrSS

PrSS（Primitive Sequence System），原本是BMS的一小部分，但现在一般认为是一个独立的记号，是最基础的用有限项自然数组表示序数的记号（worm记号）。

因为源于BMS，PrSS的标准表达式应该是0开头的，但为了衔接0-Y，这里使用1开头的表达式。

PrSS用空序列表示0，用1结尾的序列表示后继序数，例如1,1,1=3，1,2,1=ω+1，表达式最后一个非1数字后面有几个1，就表示这个序数是极限序数加几。

在最后一项不是1的时候，表示一个极限序数，如1,2=ω，1,2,2=ω²。此时的PrSS是可以“展开”的；“展开”是指把一个较大的极限序数，表示成用无穷多个更小的序数做数学运算的形式，比如说ω=1+1+1+1+1+...有无穷多个1；ω²=ω+ω+ω+...有无穷多个ω。

那么PrSS如何展开呢？以1,2,3,1,2,2为例。首先，找到序列的末项，即1,2,3,1,2,2；然后，向前找到最靠近末项的、小于末项的项，也就是1,2,3,1,2,2，找到的这个项我们取一个名字叫坏根；接下来，从坏根开始，一直到倒数第二项，这一部分取名叫坏部，即1,2,3,1,2,2；最后，把末项去掉，然后复制坏部无穷多次，即1,2,3,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...。

再举一个例子，1,2,3,4,4,2,3,4,3,3；末项是1,2,3,4,4,2,3,4,3,3，坏根是最靠近末项的、小于末项的项，可以向前找到一个2，1,2,3,4,4,2,3,4,3,3；接下来坏部就是1,2,3,4,4,2,3,4,3,3；最后序列展开为1,2,3,4,4,2,3,4,3,2,3,4,3,2,3,4,3,2,3,4,3,...。

这里给出5个PrSS表达式，用于展开序列的练习，由易到难（答案在下一部分末尾）。
1,2,2,1,2,2；1,2,2,1,2；1,2,3；1,2,3,3,1,2,3,2,2；1,2,3,4,4,3,2,3,4,4,2。

3：阶差与父项

PrSS的极限是1,2,3,4,5,6,...，而在这之后，就是0-Y独有的部分了（你要非要说LPrSS或HPrSS那我也没办法）。在0-Y，1,3展开为1,2,3,4,5,6,...，扩展了PrSS。

在学习展开0-Y表达式之前，首先要知道父项和阶差两个重要概念，这里均以0-Y的知名表达式1,4,6,3,7,9,7为例。

首先需要找父项。等于1的项没有父项，其他任何项都有父项。在PrSS部分，我们找过一个叫坏根的东西，也就是“最靠近末项的、小于末项的项”，现在，把它改成左侧最靠近某一项的、小于该项的项，这就是该项的父项。1,4,6,3,7,9,7中，除首项1外，其他各项都有父项，第二项4的父项是首项1、第三项6的父项是第二项4、第四项3的父项是首项1、第五项7的父项是第四项3、第六项9的父项是第五项7、第七项7的父项是第四项3。

接下来到了阶差。没有父项的1，*阶差依然是1，而有父项的项，阶差就是这个项减去自己的父项；在1,4,6,3,7,9,7中，可以得出各项的阶差分别是1,3,2,2,4,2,4；为什么各项的阶差要这样写？因为各项的阶差可以组成一个新的0-Y序列。

只要序列的末项的阶差不是1，这个序列就需要找阶差，1,4,6,3,7,9,7的末项阶差是4，于是得到了阶差序列1,3,2,2,4,2,4；显然，这个阶差序列的末项阶差依然不是1，那么就可以再次寻找阶差，称为二阶阶差，对应的父项则是二阶父项。但是二阶阶差(以及任意高阶阶差)，和一阶阶差的寻找方式，有一点差异。

先来看更简单的1,4,6,4。它的非1项的父项分别是首项1、第二项4、首项1，阶差序列是1,3,2,3。1,3,2,3中末项的阶差是多少呢？看起来很像3-2=1，但事实并非如此。求高阶阶差还有一个要求：某一项的高阶父项不能比低阶父项靠右。1,4,6,4末项的一阶父项已经是首项1了，那么二阶父项不能比这个1靠右，就只能仍然是1，于是阶差序列1,3,2,3的非1项，父项全都是首项1。

回到1,4,6,3,7,9,7的阶差序列1,3,2,2,4,2,4，因为末项的一阶父项是第四项3，那么二阶父项不能比它靠右，在此要求下，寻找最靠近它的小于它的项，也就是第四项2，于是求得其阶差是4-2=2；再求出其他项的阶差，得到二阶阶差序列1,2,1,1,2,1,2。此时末项的阶差已经是1了，就不需要继续算三阶阶差了。

相信你已经会算阶差序列了。试求下列0-Y表达式的一阶阶差序列（答案在下一部分末尾）：1,3,6,9,8,10,8,6、1,4,7,9,3,7,11,13,7、1,5,1,4,6,10,13,4；和下列0-Y表达式的二阶阶差序列：1,4,8,14,18,4、1,4,7,10,7,9,4、1,4,10,20,35,56。

*本质上，等于1的项没有阶差，只是由于0-Y的V形山脉的特征，可以这么理解，详见第6部分。
上一部分答案：1,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...；1,2,2,1,1,1,1,1,1,...；1,2,2,2,2,2,2,...；1,2,3,3,1,2,3,2,1,2,3,2,1,2,3,2,...；1,2,3,4,4,3,2,3,4,4,1,2,3,4,4,3,2,3,4,4,1,2,3,4,4,3,2,3,4,4,...。

4：递归展开

在找到了父项和阶差之后，就可以展开对应的0-Y表达式了。前面可能过度重视了阶差，实际上父项比阶差更重要（在0-Y的扩展ω-Y中，阶差序列几乎一定是1,1,1,...,1,2，一切展开都取决于父项）。在接下来的阶差序列与父项序列，将用一个矩阵表达，如1,4,6,3,7,9,7表示为，其中下侧行表示父项是第几项。

先看一个较简单的，1,3,5,3，阶差为，当阶差序列不需要再次求高阶阶差时，末项的父项就是坏根。在这里，坏根就是首项1，1,2,2,2很快就能求得1,2,2,1,2,2,1,2,2,1,2,2,...。现在已经有了阶差序列的展开式，那么父项序列的展开式是什么呢？可以发现，末项是第4项，坏根是第1项，两者相减得到中间差3项；现在令末项项序号减坏根项序号等于λ，因此在这里λ=3；接下来我们求出第5项的父项，它等于(第5-λ项的父项项序号)+λ，即第1+3=4项，对于后面的任意项都是如此，即第k项的父项是第((第k-λ项的父项项序号)+λ)项。于是，展开为；最后一步，返回原序列1,3,5,3，前面的1,3,5不变，后面的每一项都等于它的阶差+父项的值。第4项=第1项+1=2，第5项=第4项+2=4，以此类推，最终得到展开式1,3,5,2,4,6,3,5,7,4,6,8,...。

然后是稍复杂的1,4,6,4，阶差是，阶差序列的末项3的父项是首项1，阶差依然不是1，因此做二阶阶差，，末项的父项依然是首项，以此为坏根，展开为1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,...，还原父项得到，即1,3,2,3=1,3,2,2,4,3,3,5,4,4,6,5,...；再次还原父项，；最后得到1,4,6,4=1,4,6,3,7,10,6,11,15,10,16,21,...。

顺带一提，为什么叫“递归展开”？要展开1,6，就先要展开1,5；于是我们先假设阶差序列的展开已知，再按阶差序列得到原序列，至于阶差序列为什么已知，那是下一步的事。
要展开1,6，先假设1,5=1,4,10,20,35,56,...已知，就可以很容易算出1,6=1,5,15,35,70,126,...；
至于为什么1,5等于这个，再来看1,5的阶差1,4，展开式是1,3,6,10,15,21,...，显然返回得到1,4,10,20,35,56,...；
那么为什么1,4的展开式是这个呢？接着看1,4的阶差1,3，它是1,2,3,4,5,6,...，这便是1,3,6,10,15,21,...的由来；
所以1,3=1,2,3,4,5,6,...是怎么得到的？再接着看1,3的阶差1,2，因为1,2=1,1,1,1,1,1,...，所以1,3=1,2,3,4,5,6,...；
1,2=1,1,1,1,1,1,...，这就是PrSS的内容了，整个展开就到此为止。
这个递归过程在0-Y并不是很重要，因为0-Y很容易求出高阶阶差，但在0-Y之上的1-Y、2-Y等，这种递归在理解上是必不可少的。

但整个展开的事情到这还没完，现在来看看前面的例子1,4,6,3,7,9,7，阶差是，二阶阶差是，坏根显然是第4项，λ=3，但是这里有一个问题，第6项，它的父项是第一项，比坏根更靠左；那么，这个项的λ项后，也就第9项，父项不再是第1+3=4项，而是第一项，即当第k-λ项的父项比坏根还靠左时，第k项的父项与第k-λ项的父项相同。这样下来，原式展开成，返回得到1,3,2,2,4,2,3,5,2,4,6,2,5,7,2,...，这里没有上述情况了，按前面的正常情况处理，，最后得到1,4,6,3,7,9,7的展开式1,4,6,3,7,9,6,11,13,10,16,18,15,22,24,...。

以上就是0-Y展开的全部内容了，用这些规则可以展开任何非1结尾的0-Y表达式。如果十分熟悉PrSS，你会发现父项的关系是很自然的，根本不需要额外花精力去记，这样展开就可以表达为：对于一个0-Y表达式的展开，先求出各项的阶差，然后把阶差序列展开，再把阶差返回原序列，就可以了。

尝试展开以下0-Y序列吧：1,4,8,10,4；1,7,11,6；1,4,7,10,10,7,9,4；1,4,5,4；1,5,8,4,11,16,13,11；1,8,27,65。
上一部分答案：1,2,3,3,2,2,2,3、1,3,4,2,2,4,5,2,4、1,4,1,3,2,4,3,3；1,2,1,2,1,2、1,2,2,2,2,1,2、1,2,3,4,5,6。

5：分析

这里不讲述分析方法，只给出分析结果。

1,2=ω
1,2,1,2=ω2
1,2,2=ω²
1,2,3=ω^ω
1,2,3,2,3=ω^(ω2)
1,2,3,3=ω^ω²
1,2,3,4=ω^ω^ω

1,3=ε₀
1,3,2=ε₀ω
1,3,2,4=ε₀²
1,3,2,4,3=ε₀^ω
1,3,2,4,3,5=ε₀^ε₀
1,3,3=ε₁
1,3,4=ε_ω
1,3,4,6=ε_ε₀
1,3,5=ζ₀
1,3,5,3=ε_(ζ₀+1)
1,3,5,3,4,6,8=ε_(ζ₀2)
1,3,5,3,5=ζ₁
1,3,5,4,6,8=ζ_ω
1,3,5,5=η₀
1,3,5,6=φ(ω,0)
1,3,5,6,8=φ(ε₀,0)
1,3,5,6,8,10=φ(ζ₀,0)
1,3,5,6,8,10,11=φ(φ(ω,0),0)
1,3,5,7=Γ₀
1,3,5,7,3,5,6,8,10,12=φ(Γ₀,1)
1,3,5,7,3,5,6,8,10,12,5=φ(Γ₀+1,0)
1,3,5,7,3,5,7=Γ₁
1,3,5,7,5=φ(1,1,0)
1,3,5,7,5,7=φ(2,0,0)
1,3,5,7,7=φ(1,0,0,0)
1,3,5,7,7,7=φ(1,0,0,0,0)
1,3,5,7,8=φ(1@ω)
1,3,5,7,9=φ(1@(1,0))
1,3,6=ψ(ε_(Ω+1))
1,3,6,9,10=ψ(Ω₂^ω)
1,3,6,10=ψ(ε_(Ω₂+1))
1,4=ψ(Ω_ω)

后面不再详细写，涉及到“提升效应”
1,4,4=ψ(Ω_ω×2)
1,4,6=ψ(Ω_ω×Ω)
1,4,6,3,7,9,7=ψ(Ω_ω×Ω+Ω_ω)
1,4,6,3,7,10=ψ(Ω_ω×Ω₂)
1,4,6,4=ψ((Ω_ω)²)
1,4,6,9=ψ(ε_(Ω_ω+1))
1,4,6,10=ψ(Ω_(ω2))
1,4,7=ψ(Ω_(ω²))
1,4,7,9=ψ(Ω_Ω)
1,4,7,9,3,7,11,14=ψ(Ω_Ω₂)
1,4,7,9,4=ψ(Ω_Ω_ω)
1,4,7,9,5=ψ(OFP)
1,4,7,10=ψ(I_ω)
1,4,7,10,7,9,5=ψ(IFP)
1,4,7,10,8=ψ(I(ω,0))
1,4,7,10,10=ψ(M_ω)
1,4,7,10,10,10=ψ(2-M_ω)
1,4,7,10,13=ψ(K_ω)
1,4,8=ψ(Π_ω)=2-dropping
1,4,9,8=3-dropping
1,4,9,10=ω-dropping
1,4,10=pfec.Large Rathjen Ordinal

最后这10行足以见证0-Y序列的强大，你对反射和Σ₁稳定了解得越多，越能感受到这里的跨越有多快；不知道反射是什么也没关系，用0-Y作为序数分析的标尺也是不错的选择。

1,4,10后面的东西已经鲜为人知，属于序数分析界的前沿，至今我们仍未知道真正的Large Rathjen Ordinal有多大，但0-Y后面还有很远的路才到头，比如说被命名为TSSO的1,5。详细分析可见置顶动态。

上一部分答案：1,4,8,10,3,7,12,15,6,11,17,21,10,16,23,28,...；1,7,11,5,17,27,15,37,57,35,72,107,...；1,4,7,10,10,7,9,3,7,11,15,15,11,14,6,11,16,21,21,16,20,...；1,4,5,3,7,8,6,11,12,10,16,17,...；1,5,8,4,11,16,13,10,21,29,23,20,36,48,38,35,57,74,59,...；1,8,27,64,125,256,343,...。

6：0-Y的本质

第一个，0-Y是不是序数记号？
上面说到0-Y是一个序数记号，但事实真的如此吗？
序数记号的定义，需要两个内容：判断一个表达式是否为序数；比较两个表达式的大小。而0-Y的定义依赖基本列，即1,3=sup{1，1,2，1,2,3，1,2,3,4，...}，这种记号本质上并不是序数记号，而是大数记号。事实上，几乎所有的自然数组表示的“序数记号”，都是大数记号。
而如果要把worm真正定义成序数记号，是十分困难的，PrSS都很难定义。这是以序数记号定义的伪-2-Y：一个有限项自然数组，第一项是1、第二项是任意自然数、第二项之后任意一项不能比它前面的那一项大；比较大小则是按字典序。
不过就实用意义上，区分大数记号和序数记号，并没有很重要的意义，所以就算说0-Y是序数记号也一般不会被反驳。

第二个是说为什么0-Y中等于1的项没有父项，阶差是1
任何Y序列，本质上都是一种被称为“山脉”的树状结构的递归运算。对于1-Y，被运算的是二维山脉；对于ω-Y，是任意高维的山脉；对于Ω-Y，是“Ω-Y维山脉”；对于-1-Y，是“不交错山脉”；而对于0-Y，则是“V形山脉”。

每一个1都是V形山脉的一个两线交点，这样才满足0-Y的山脉只有两行这个特征。当然，为了方便起见，一般还是画成两行平行分布的形式。

0-Y的这个特征，和任何正整数-Y都不同，这也使很多googology大佬认为1-Y才是Y序列的起点，但是0-Y的简洁与强度，使包括这些大佬在内的几乎任何googologists，都难以抛弃0-Y。

第三个是“用有限项自然数组表示一个序数”，这种记号的模式，或者说表现形式，叫做worm，能不能算一种真正的“模式”？
“模式”指的是类似于 构造大数或序数的思路 的东西，常见的模式有hydra、dropping hydra、shifted、stellar、φ模式等，它们都是从不同的思路出发，构造出来的形成大序数的方法，也就是说，它们的“根基”是不同的。而对于worm，“根基”是否与它们不同，这个实际上没有标准答案。
个人认为，worm只是一种表现形式，它可以把hydra、dropping等模式，用自然数组的形式表现出来，这种情况下并不能算是一种“模式”；但是，也有很多worm记号，制作的初衷就是用特殊的数组组合，来实现表示更大的序数，比如说LMS，(0)(2)(1)(3)先把它化为(0)(2)(1,1)(2,2,2)再展开，仅仅是在序列表达式上做文章，那这种情况下，worm又可以成为一种“模式”。因此，worm是不是一种“模式”，取决于你构造这个worm记号的思路。

以上就是0-Y的所有内容了，本文到此结束，感谢阅读，希望对你有帮助！